第九章 静电场及其应用

牛顿曾经说："我认为自己不过像在海滩上玩耍的男孩，不时地寻找比较光滑的卵石或比较漂亮的贝壳，以此为乐，而我面前，则是一片尚待发现的真理的大海。"真理的大海中包括电现象、磁现象……

其实，人类研究电现象和磁现象的历史与力学研究同样丰富多彩，但电和磁的世界比机械运动的世界更加错综复杂。

从这章开始，我们将进入更有趣的电和磁的世界。

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9.1 电荷

【问题】 摩擦可以使物体带电。摩擦过的琥珀能够吸引羽毛。为什么有的物体容易带电，而有的物体很难带电呢？

电荷

公元前 600 年左右，古希腊学者泰勒斯就发现摩擦过的琥珀吸引轻小物体的现象。我国古代也有类似的记载。例如，公元 1 世纪，我国学者王充在《论衡》一书中写下"顿牟掇芥"一语。16 世纪，英国科学家吉尔伯特在研究这类现象时首先根据希腊文的琥珀创造了英语中的"electricity"（电）这个词，用来表示琥珀经过摩擦以后具有的性质，并且认为摩擦过的琥珀带有电荷（electric charge）。人们发现，很多物体都会由于摩擦而带电，并称这种方式为摩擦起电（electrification by friction）。美国科学家富兰克林通过实验发现，雷电（图 9.1-1）的性质与摩擦产生的电的性质完全相同，并命名了正电荷（positive charge）和负电荷（negative charge）。迄今为止，人们没有发现对这两种电荷都排斥或都吸引的电荷。自然界的电荷只有两种。^[1]

电荷的多少叫作电荷量（electric quantity），用 $Q$ 表示，有时也可以用 $q$ 来表示。在国际单位制中，它的单位是库仑（coulomb），简称库，符号是 $\text{C}$。正电荷的电荷量为正值，负电荷的电荷量为负值。^[2]

我们知道，原子是由带正电的质子、不带电的中子以及带负电的电子组成的。每个原子中质子的正电荷数量与电子的负电荷数量一样多，所以整个原子对外界表现为电中性。

原子内部的质子和中子被紧密地束缚在一起构成原子核，原子核的结构一般是很稳定的。通常离原子核较远的电子受到的束缚较弱，容易受到外界的作用而脱离原子。当两种物质组成的物体互相摩擦时，一些受束缚较弱的电子会转移到另一个物体上。于是，原来电中性的物体由于得到电子而带负电，失去电子的物体则带正电。这就是摩擦起电的原因。

不同物质的微观结构不同，由于原子或分子间的相互作用，原子中电子的多少和运动状况也不相同。例如，金属中原子的外层电子往往会脱离原子核的束缚而在金属中自由运动，这种电子叫作自由电子（free electron）。失去自由电子的原子便成为带正电的离子（ion），它们在金属内部排列起来，每个正离子都在自己的平衡位置附近振动而不移动，只有自由电子穿梭其中（图 9.1-2），这就使金属成为导体。绝缘体中几乎不存在能自由移动的电荷。^[3]

静电感应

摩擦可以使物体带电，那么，还有其他方法可以使物体带电吗？

【实验】观察静电感应现象 取一对用绝缘柱支持的导体 A 和 B，使它们彼此接触。起初它们不带电，贴在下部的两片金属箔是闭合的（图 9.1-3）。

1. 手握绝缘棒，把带正电荷的带电体 C 移近导体 A，金属箔有什么变化？
2. 这时手持绝缘柱把导体 A 和 B 分开，然后移开 C，金属箔又有什么变化？
3. 再让导体 A 和 B 接触，又会看到什么现象？
4. 利用金属的微观结构模型，解释看到的现象。

当一个带电体靠近导体时，由于电荷间相互吸引或排斥，导体中的自由电荷便会趋向或远离带电体，使导体靠近带电体的一端带异种电荷，远离带电体的一端带同种电荷。这种现象叫作静电感应（electrostatic induction）。利用静电感应使金属导体带电的过程叫作感应起电。

【做一做】验电器 从 18 世纪起，人们开始经常使用一种叫作验电器的简单装置来检测物体是否带电。玻璃瓶内有两片金属箔，用金属丝挂在一根导体棒的下端，棒的上端穿过绝缘的瓶塞从瓶口伸出（图 9.1-4 甲）。如果把金属箔换成指针，并用金属制作外壳，这样的验电器又叫作静电计（图 9.1-4 乙）。

• 制作一个验电器，并用验电器检测不同带电体所带电荷的种类和相对数量。
• 观察：当带电体靠近导体棒的上端时，金属箔片是否张开？

电荷守恒定律

静电感应过程中导体中的自由电荷只是从导体的一部分转移到另一部分。也就是说，无论是摩擦起电还是感应起电都没有创造电荷，只是电荷的分布发生了变化。

大量实验事实表明，电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移过程中，电荷的总量保持不变。这个结论叫作电荷守恒定律（law of conservation of charge）。^[4]

近代物理实验发现，在一定条件下，带电粒子可以产生或湮没。例如，一个高能光子在一定条件下可以产生一个正电子^[5]和一个负电子；一对正、负电子可以同时湮没，转化为光子。不过在这些情况下，带电粒子总是成对产生或湮没的，两个粒子带电数量相等但电性相反，而光子又不带电，所以电荷的代数和仍然不变。因此，电荷守恒定律更普遍的表述是：一个与外界没有电荷交换的系统，电荷的代数和保持不变。它是自然界重要的基本规律之一。

元电荷

迄今为止，实验发现的最小电荷量就是电子所带的电荷量。质子、正电子所带的电荷量与它相同，电性相反。人们把这个最小的电荷量叫作元电荷（elementary charge），用 $e$ 表示。实验还发现，所有带电体的电荷量都是 $e$ 的整数倍。这就是说，电荷量是不能连续变化的物理量。

元电荷 $e$ 的数值，最早是由美国物理学家密立根测得的，他因此获得诺贝尔物理学奖。在密立根实验之后，人们又做了许多测量。现在公认的元电荷 $e$ 的值为

$$e=1.602176634\times {10}^{-19}\text{C}$$

在计算中，可取

$$e=1.60\times {10}^{-19}\text{C}$$

电子的电荷量 $e$ 与电子的质量 $m_e$ 之比，叫作电子的比荷（specific charge）。比荷也是一个重要的物理量。电子的质量 $m_e=9.11\times {10}^{-31}\text{kg}$，所以电子的比荷为

$$\frac{e}{m_e}=1.76\times {10}^{11}\text{C/kg}$$

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9.2 库仑定律

直到库仑定律发表的时候，电学才进入科学的行列。 ——劳厄 ^[6]

【问题】 带正电的带电体 C 置于铁架台旁，把系在丝线上带正电的小球先后挂在 $P_1$、$P_2$、$P_3$ 等位置。带电体 C 与小球间的作用力会随距离的不同怎样改变呢？

在同一位置增大或减小小球所带的电荷量，作用力又会怎样变化？电荷之间作用力的大小与哪些因素有关？

电荷之间的作用力

通过上面的实验可以看到，电荷之间的作用力随着电荷量的增大而增大，随着距离的增大而减小。^[7]

电荷之间的作用力会不会与万有引力具有相似的形式呢？也就是说，电荷之间的相互作用力，会不会与它们电荷量的乘积成正比，与它们之间距离的二次方成反比？

事实上，电荷之间的作用力与万有引力是否相似的问题早已引起当年一些研究者的注意，英国科学家卡文迪什和普里斯特利等人都确信"平方反比"规律适用于电荷间的力。不过，最终解决这一问题的是法国科学家库仑。他设计了一个十分精妙的实验（扭秤实验），对电荷之间的作用力开展研究。最后确认：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。这个规律叫作库仑定律（Coulomb's law）。这种电荷之间的相互作用力叫作静电力（electrostatic force）或库仑力。

那么，什么是点电荷呢？

实验事实说明，两个实际的带电体间的相互作用力与它们自身的大小、形状以及电荷分布都有关系。任何带电体都有形状和大小。当带电体之间的距离比它们自身的大小大得多，以致带电体的形状、大小及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响可以忽略时，这样的带电体可以看作带电的点，叫作点电荷（point charge）。^[8]

库仑的实验

库仑做实验用的装置叫作库仑扭秤。如图 9.2-1，细银丝的下端悬挂一根绝缘棒，棒的一端是一个小球 A，另一端通过物体 B 使绝缘棒平衡，悬丝处于自然状态。把另一个带电的金属小球 C 插入容器并使它接触 A，从而使 A 与 C 带同种电荷。将 C 和 A 分开，再使 C 靠近 A，A 和 C 之间的作用力使 A 远离。扭转悬丝，使 A 回到初始位置并静止，通过悬丝扭转的角度可以比较力的大小。改变 A 和 C 之间的距离 $r$，记录每次悬丝扭转的角度，就可以找到力 $F$ 与距离 $r$ 的关系，结果是力 $F$ 与距离 $r$ 的二次方成反比，即

$$F\propto \frac{1}{r^2}$$

在库仑那个年代，还不知道怎样测量物体所带的电荷量，甚至连电荷量的单位都没有。不过两个相同的金属小球，一个带电、一个不带电，互相接触后，它们对相隔同样距离的第三个带电小球的作用力相等，因此，可以断定这两个小球接触后所带的电荷量相等。这意味着，如果使一个带电金属小球与另一个不带电的完全相同的金属小球接触，前者的电荷量就会分给后者一半。多次重复，可以把带电小球的电荷量 $q$ 分为

$$\frac{q}{2},\frac{q}{4},\frac{q}{8},\dots$$

这样又可以得出电荷之间的作用力与电荷量的关系：力 $F$ 与 $q_1$ 和 $q_2$ 的乘积成正比，即^[9]

$$F\propto q_1{q}_2$$

综合上述实验结论，可以得到如下关系式

$$F=k\frac{q_1{q}_2}{r^2}$$

式中的 $k$ 是比例系数，叫作静电力常量。当两个点电荷所带的电荷量为同种时，它们之间的作用力为斥力；反之，为异种时，它们之间的作用力为引力。

在国际单位制中，电荷量的单位是库仑（$\text{C}$），力的单位是牛顿（$\text{N}$），距离的单位是米（$\text{m}$）。$k$ 的数值是

$$k=9.0\times {10}^9\text{N}\cdot {\text{m}}^2/{\text{C}}^2$$

静电力计算

根据库仑定律，两个电荷量为 $1\text{C}$ 的点电荷在真空中相距 $1\text{m}$ 时，相互作用力是 $9.0\times {10}^9\text{N}$。差不多相当于一百万吨的物体所受的重力！可见，库仑是一个非常大的电荷量单位，我们几乎不可能做到使相距 $1\text{m}$ 的两个物体都带 $1\text{C}$ 的电荷量。

通常，一把梳子和衣袖摩擦后所带的电荷量不到百万分之一库仑，但天空中发生闪电之前，巨大的云层中积累的电荷量可达几百库仑。

【例题 1】 在氢原子内，氢原子核与电子之间的最短距离为 $5.3\times {10}^{-11}\text{m}$。试比较氢原子核与电子之间的静电力和万有引力。

分析 氢原子核与质子所带的电荷量相同，是 $1.6\times {10}^{-19}\text{C}$。电子带负电，所带的电荷量也是 $1.6\times {10}^{-19}\text{C}$。质子质量为 $1.67\times {10}^{-27}\text{kg}$，电子质量为 $9.1\times {10}^{-31}\text{kg}$。根据库仑定律和万有引力定律就可以求解。

解 根据库仑定律，它们之间的静电力为

$$F_{\text{库}}=k\frac{q_1{q}_2}{r^2}$$$$F_{\text{库}}=9.0\times {10}^9\times \frac{(1.6\times {10}^{-19})\times (1.6\times {10}^{-19})}{(5.3\times {10}^{-11}{)}^2}\text{N}$$$$F_{\text{库}}=8.2\times {10}^{-8}\text{N}$$

根据万有引力定律，它们之间的万有引力为

$$F_{\text{引}}=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$$$$F_{\text{引}}=6.7\times {10}^{-11}\times \frac{(1.67\times {10}^{-27})\times (9.1\times {10}^{-31})}{(5.3\times {10}^{-11}{)}^2}\text{N}$$$$F_{\text{引}}=3.6\times {10}^{-47}\text{N}$$$$\frac{F_{\text{库}}}{F_{\text{引}}}=2.3\times {10}^{39}$$

氢原子核与电子之间的静电力是万有引力的 $2.3\times {10}^{39}$ 倍。

可见，微观粒子间的万有引力远小于库仑力。因此，在研究微观带电粒子的相互作用时，可以把万有引力忽略。

库仑定律描述的是两个点电荷之间的作用力。如果存在两个以上点电荷，那么，每个点电荷都要受到其他所有点电荷对它的作用力。两个或两个以上点电荷对某一个点电荷的作用力，等于各点电荷单独对这个点电荷的作用力的矢量和。^[10]

库仑定律是电磁学的基本定律之一。库仑定律给出的虽然是点电荷之间的静电力，但是任何一个带电体都可以看成是由许多点电荷组成的。所以，如果知道带电体上的电荷分布，根据库仑定律就可以求出带电体之间的静电力的大小和方向。

【例题 2】 真空中有三个带正电的点电荷，它们固定在边长为 $50\text{cm}$ 的等边三角形的三个顶点上，每个点电荷的电荷量都是 $2.0\times {10}^{-6}\text{C}$，求它们各自所受的静电力。

分析 根据题意作图（图 9.2-2）。每个点电荷都受到其他两个点电荷的斥力，因此，只要求出一个点电荷（例如 $q_3$）所受的力即可。

解 根据库仑定律，点电荷 $q_3$ 共受到 $F_1$ 和 $F_2$ 两个力的作用。其中

$$q_1=q_2=q_3=q$$

每两个点电荷之间的距离 $r$ 都相同，所以

$$F_1=F_2=k\frac{q^2}{r^2}=9.0\times {10}^9\times \frac{(2.0\times {10}^{-6}{)}^2}{{0.5}^2}\text{N}=0.144\text{N}$$

根据平行四边形定则可得

$$F=2F_1\cos {30}^{\circ }=0.25\text{N}$$

点电荷 $q_3$ 所受的合力 $F$ 的方向为 $q_1$ 与 $q_2$ 连线的垂直平分线向外。

每个点电荷所受的静电力的大小相等，数值均为 $0.25\text{N}$，方向均沿另外两个点电荷连线的垂直平分线向外。

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9.3 电场 电场强度

【问题】 通过起电机使人体带电，人的头发会竖起散开。为什么会出现这样的现象？你能解释产生这一现象的原因吗？

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1. 旁注：到目前为止，科学实验发现的最小电荷量是电子所带的电荷量。质子和正电子所带的电荷量与电子相同，但符号相反。 ↩︎

2. 旁注：用验电器可以检验物体是否带电以及所带电荷的种类和相对数量。 ↩︎

3. 旁注：金属是导体，自由电子可以在其中自由运动；绝缘体中的电子被束缚在原子周围，几乎不能自由移动。 ↩︎

4. 旁注：电荷守恒定律是自然界重要的基本规律之一。 ↩︎

5. 旁注：正电子是电子的反粒子，质量与电子相同，电荷量与电子相同但符号相反。 ↩︎

6. 劳厄（Max Von Laue，1879—1960），德国物理学家，诺贝尔物理学奖获得者。 ↩︎

7. 旁注：电荷之间的作用力与万有引力有许多相似之处。 ↩︎

8. 旁注：点电荷类似于力学中的质点，是一种理想化的物理模型。 ↩︎

9. 旁注：库仑通过精确实验发现了静电力与电荷量乘积及距离平方的反比关系。 ↩︎

10. 旁注：静电力的叠加遵循平行四边形定则。 ↩︎