第五章抛体运动

Mr.Hope2026/7/7...大约 23 分钟

第五章抛体运动

到目前为止，我们只研究了物体沿着一条直线的运动。实际上，自然界中的曲线运动是很常见的。运动员奋力投球，篮球沿着一条优美的弧线进入篮筐；亿万年来地球在接近圆形的轨道上绕太阳时刻不停地公转。抛出的篮球、公转的地球，它们运动的轨迹都是曲线。我们把轨迹是曲线的运动称为曲线运动（curvilinear motion）。

从现在开始，我们把目光转向抛体运动、圆周运动，以及更一般的曲线运动。从中我们可以体会到，研究直线运动时的基本思路和方法，原则上同样可以用来处理曲线运动。

5.1 曲线运动

力学是关于运动的科学，它的任务是以完备而又简单的方式描述自然界中发生的运动。 ——基尔霍夫 ^[1]

【问题】 观察砂轮打磨和链球飞出的物理现象，你能不能说清楚：砂轮打磨下来的炽热微粒和飞出去的链球，分别沿着什么方向运动？

我们知道，物体做直线运动时，速度方向与运动轨迹一致。物体做曲线运动时，速度方向又是怎样的呢？

曲线运动的速度方向

运动员掷链球时，链球在手的牵引下做曲线运动，一旦运动员放手，链球即刻飞出。放手的时刻不同，链球飞出的方向也不一样。可见，做曲线运动的物体，速度的方向在不断变化。下面我们来研究做曲线运动的物体在某一时刻的速度方向。

【演示】观察做曲线运动物体的速度方向 如图 5.1-1，在水平桌面上放一张白纸，白纸上摆一条由几段稍短的弧形轨道组合而成的弯道。使表面沾有红色印泥的钢球以一定的初速度从弯道的 C 端滚入，钢球从出口 A 离开后会在白纸上留下一条运动的痕迹，它记录了钢球在 A 点的运动方向。

拆去一段轨道，出口改在 B。用同样的方法可以记录钢球在 B 点的运动方向。

白纸上的印迹与轨道（曲线）有什么关系？

除实验方法外，还有什么方法可以确定物体在某一时刻的速度方向？讨论这一问题时要明确一个数学概念——曲线的切线。

如图 5.1-2，过曲线上的 A、B 两点作直线，这条直线叫作曲线的割线。设想 B 点逐渐沿曲线向 A 点移动，这条割线的位置也就不断变化。当 B 点非常非常接近 A 点时，这条割线就叫作曲线在 A 点的切线（tangent） ^[2]。

假设图 5.1-2 中的曲线是某一质点的运动轨迹。若质点在一段时间内从 B 点运动到 A 点，则质点的平均速度的方向由 B 点指向 A 点。当 B 点越来越靠近 A 点时，质点的平均速度方向将越来越接近 A 点的切线方向。当 B 点与 A 点的距离接近 0 时，质点在 A 点的速度方向沿过 A 点的切线方向。

根据上面的分析，可以得到结论：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。

速度是矢量，既有大小，又有方向。由于曲线运动中速度的方向是变化的，所以曲线运动是变速运动。

物体做曲线运动的条件

【思考与讨论】 物体如果不受力，将静止或做匀速直线运动。那么，你认为物体在什么条件下做曲线运动呢？

物体做曲线运动时，由于速度方向时刻改变，物体的加速度一定不为 0，因此，物体所受的合力一定不为 0。物体受什么样的力才会做曲线运动？下面我们通过实验来研究这个问题。

【演示】观察钢球的运动轨迹 一个钢球在水平面上做直线运动。从不同方向给它施加力，例如在钢球运动路线的正前方或旁边放一块磁铁（图 5.1-3），观察钢球的运动。

由实验可以看出，当钢球受到的合力的方向与速度方向不在同一条直线上时，钢球做曲线运动。生活中也有大量类似的例子。例如，向斜上方抛出的石子，它所受重力的方向与速度的方向不在同一条直线上，石子做曲线运动。

大量事实表明：当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。

根据牛顿第二定律，物体加速度的方向与它受力的方向总是一致的。当物体受力的方向与速度的方向不在同一直线上时，加速度的方向也就与速度的方向不在同一直线上了，于是物体的速度方向要发生变化，物体就做曲线运动。

5.2 运动的合成与分解

【问题】 若人在河中始终保持头朝正前方游向对岸，你认为他会在对岸的正前方到达，还是会偏向上游或下游？为什么？

对类似上述的运动应该怎样分析呢？下面让我们从一个简单的平面运动开始研究。

一个平面运动的实例

在下面的实验中，我们将以蜡块的运动为例，讨论怎样在平面直角坐标系中研究物体的运动。

【演示】观察蜡块的运动 在一端封闭、长约 $1 m$ 的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡做的小圆柱体 A，将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧（图 5.2-1 甲）。把玻璃管倒置（图 5.2-1 乙），蜡块 A 沿玻璃管上升。如果在玻璃管旁边竖立一把刻度尺，可以看到，蜡块上升的速度大致不变，即蜡块做匀速直线运动 ^[3]。

在蜡块匀速上升的同时，将玻璃管紧贴着黑板沿水平方向向右匀速移动（图 5.2-1 丙），观察蜡块的运动情况。

在这个实验中，蜡块既向上做匀速运动，又由于玻璃管的移动向右做匀速运动，以黑板为背景我们看到蜡块向右上方运动。那么，蜡块向右上方的这个运动是什么样的运动呢？

要想定量地研究蜡块的运动，就要建立坐标系，具体分析。

建立坐标系 研究物体的运动时，坐标系的选取很重要。例如，对于直线运动，最好沿着这条直线建立坐标系。但是，有时在对运动作深入分析之前，物体的运动形式并不清楚，甚至难以判断它的运动轨迹是不是直线。这时，就需要选择其他类型的坐标系。研究物体在平面内的运动时，可以选择平面直角坐标系。

在研究蜡块的运动时，我们以蜡块开始匀速运动的位置为原点 $O$ ，以水平向右的方向和竖直向上的方向分别为 $x$ 轴和 $y$ 轴的方向，建立平面直角坐标系（图 5.2-2）。

蜡块运动的轨迹 要确定蜡块运动的轨迹，首先要确定任意时刻蜡块的位置。我们设法写出蜡块的坐标随时间变化的关系式。蜡块 $x$ 坐标的值等于它与 $y$ 轴的距离， $y$ 坐标的值等于它与 $x$ 轴的距离。若以 $v_{x}$ 表示玻璃管向右移动的速度，以 $v_{y}$ 表示蜡块沿玻璃管上升的速度，则有：

x = v_{x} t

y = v_{y} t

蜡块沿着什么样的轨迹运动？在数学上，关于 $x$ 、 $y$ 两个变量的关系式可以描述一条曲线（包括直线），而在上面 $x$ 、 $y$ 的表达式中，除了 $x$ 、 $y$ 之外还有一个变量 $t$ ，我们可以从中消去 $t$ ，这样就得到：^[4]

y = \frac{v_{y}}{v_{x}} x

该式代表的是一条过原点的直线，也就是说，蜡块的运动轨迹是直线。

蜡块运动的速度 速度 $v$ 与 $v_{x}$ 、 $v_{y}$ 的关系已经在图 5.2-2 中形象地标出，因此可以根据勾股定理写出它们之间的关系：

v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}

根据三角函数的知识，从图 5.2-2 中还可以确定速度 $v$ 的方向，即用速度矢量 $v$ 与 $x$ 轴正方向的夹角 $θ$ 来表示，它的正切为：

\tan θ = \frac{v_{y}}{v_{x}}

运动的合成与分解

在这个实例中，我们看到蜡块向右上方的运动可以看成由沿玻璃管向上的运动和水平向右的运动共同构成。蜡块沿玻璃管向上的运动和它随着玻璃管向右的运动，都叫作分运动；而蜡块相对于黑板向右上方的运动叫作合运动。

由分运动求合运动的过程，叫作运动的合成（composition of motions）；由合运动求分运动的过程，叫作运动的分解（resolution of motion）。运动的合成与分解遵从矢量运算法则。

【例题】 某商场设有步行楼梯和自动扶梯，步行楼梯每级的高度是 $0.15 m$ ，自动扶梯与水平面的夹角为 $30^{\circ}$ ，自动扶梯前进的速度是 $0.76 m/s$ 。有甲、乙两位顾客，分别从自动扶梯和步行楼梯的起点同时上楼，甲在自动扶梯上站立不动，乙在步行楼梯上以每秒上两个台阶的速度匀速上楼（图 5.2-3）。哪位顾客先到达楼上？如果该楼层高 $4.56 m$ ，甲上楼用了多少时间？

分析甲、乙两位顾客在竖直方向上的位移相等，可考虑比较他们在竖直方向的分速度。由竖直方向的位移和竖直方向的速度，可求出上楼所用的时间。

解如图 5.2-4 所示，甲在竖直方向的速度为：

v_{甲 y} = v_{甲} \sin θ = 0.76 \times \sin 30^{\circ} m/s = 0.38 m/s

乙在竖直方向的速度为：

v_{乙 y} = \frac{2 \times 0.15}{1} m/s = 0.3 m/s

因此 $v_{甲 y} > v_{乙 y}$ ，甲先到楼上。

t_{甲} = \frac{h}{v_{甲 y}} = \frac{4.56}{0.38} s = 12 s

甲比乙先到达楼上，甲上楼用了 $12 s$ 。

5.3 实验：探究平抛运动的特点

以一定的速度将物体抛出，在空气阻力可以忽略的情况下，物体只受重力的作用，这时的运动叫作抛体运动（projectile motion）。如果初速度是沿水平方向的，这样的抛体运动就叫作平抛运动。

下面我们通过实验来探究物体做平抛运动的特点，即物体的速度和位移随时间的变化关系。

实验思路

平抛运动是曲线运动，速度和位移的方向都在时刻变化。我们可以按照把复杂的曲线运动分解为不同方向上两个相对简单的直线运动的思路，分别研究物体在这两个方向的运动特点。

平抛运动可以分解为哪两个方向的运动呢？

由于物体是沿着水平方向抛出的，在运动过程中只受到竖直向下的重力作用，因此我们可以尝试将平抛运动分解为水平方向的分运动和竖直方向的分运动。如果这两个方向的分运动特点研究清楚了，平抛运动的规律就清楚了。也就是说，我们需要知道这两个方向的位移或速度随时间变化的信息。位移和速度哪个更方便测量？如何通过实验获得所需信息呢？

进行实验

研究思路确定后，还需要设计可操作的方案以便进行实验。下面两种实验方案供你参考。

方案一

设法记录做平抛运动的物体经过相等时间间隔所到达的位置，获得水平方向和竖直方向的位移随时间变化的具体数据，便可以独立分析水平方向和竖直方向的运动规律。

可以用频闪照相或者录制视频的方法，记录物体在不同时刻的位置。图 5.3-1 是一个小球做平抛运动时的频闪照片。观察这幅照片，思考下面的问题。

根据图片猜想，小球在水平方向和竖直方向的分运动有何特点？
应以哪个位置为原点建立坐标系来研究小球的水平位移和竖直位移？
若频闪周期为 $T$ ，怎样通过作图得到 $T$ ， $2 T$ ， $3 T$ ，… 时间内小球做平抛运动的水平位移和竖直位移？
需要测量并记录哪些数据？怎样用实验数据检验你的猜想？

请设计表格，把所测量的数据填入表格，根据水平位移和竖直位移随时间变化的具体数据，分析小球水平方向分运动和竖直方向分运动的特点。

方案二

在水平和竖直两个方向中，先研究其中一个方向的运动规律，再设法分析另外一个方向的运动规律。

根据这一思路设计实验。思考下面的问题会帮助我们完善实验方案。

你对物体在水平方向和竖直方向的运动规律有怎样的猜想？
是否需要获取物体做平抛运动的轨迹？如何获取？
在描绘轨迹时，如何选择坐标原点和建立坐标系？
物体的大小对描绘轨迹是否有影响？如何减小这种影响？

后面参考案例给出的方案，是先研究物体在竖直方向的运动，再研究水平方向的运动。也可以反过来，先研究物体在水平方向的运动，再研究竖直方向的运动。如果这样做，应该怎样设计实验？

参考案例

步骤 1：探究平抛运动竖直分运动的特点

在如图 5.3-2 所示的实验中，用小锤击打弹性金属片后，A 球沿水平方向抛出，做平抛运动；同时 B 球被释放，自由下落，做自由落体运动。观察两球的运动轨迹，比较它们落地时间的先后。

分别改变小球距地面的高度和小锤击打的力度，多次重复这个实验，记录实验现象。

从这个实验看，平抛运动在竖直方向的分运动是什么运动？

步骤 2：探究平抛运动水平分运动的特点

如果我们能够得到平抛运动的轨迹，利用前面探究得出的平抛运动竖直分运动的特点，就可以分析得出平抛运动在水平方向分运动的特点。

在图 5.3-3 所示的装置中，斜槽 M 末端水平。钢球在斜槽中从某一高度滚下，从末端飞出后做平抛运动。在装置中有一个水平放置的可上下调节的倾斜挡板 N，钢球飞出后，落到挡板上。实验前，先将一张白纸和复写纸固定在装置的背板上。钢球落到倾斜的挡板上后，就会挤压复写纸，在白纸上留下印迹。上下调节挡板 N，通过多次实验，在白纸上记录钢球所经过的多个位置。最后，用平滑曲线把这些印迹连接起来，就得到钢球做平抛运动的轨迹。

根据步骤 1 得出的平抛运动在竖直方向分运动的规律，设法确定“相等的时间间隔”。再看相等的时间内水平分运动的位移，进而确定水平分运动的规律。

拓展学习：用传感器和计算机描绘物体做平抛运动的轨迹

用传感器和计算机可以方便地描出做平抛运动的物体的轨迹。一种设计原理如图 5.3-4 所示。物体 A 在做平抛运动，它能够在竖直平面内向各个方向同时发射超声波脉冲和红外线脉冲。在它运动的平面内安放着超声—红外接收装置 B。B 盒装有 $B_{1}$ 、 $B_{2}$ 两个超声—红外接收器，并与计算机相连。 $B_{1}$ 、 $B_{2}$ 各自测出收到超声脉冲和红外脉冲的时间差，并由此算出它们各自与物体 A 的距离。^[5] 从图 5.3-4 可以看出，在这两个距离确定之后，由于 $B_{1}$ 、 $B_{2}$ 两处的距离是已知的，所以物体 A 的位置也就确定了。计算机可以即时给出 A 的坐标。

图 5.3-5 是按这样的原理制作的一种实验装置（超声—红外接收装置 B 的安装位置与原理图 5.3-4 不同）。图 5.3-6 是某次实验中计算机描出的平抛运动的轨迹。除此之外，计算机还能直接给出平抛运动的初速度等其他物理量。

5.4 抛体运动的规律

【问题】 在排球比赛中，你是否曾为排球下网或者出界而感到惋惜？如果运动员沿水平方向击球，在不计空气阻力的情况下，要使排球既能过网，又不出界，需要考虑哪些因素？如何估算球落地时的速度大小？

上节课我们通过实验探究了平抛运动的特点，本节我们将从理论分析的角度，对抛体运动的规律作进一步分析。

平抛运动的速度

在研究直线运动时，我们已经认识到，为了得到物体的速度与时间的关系，要先分析物体受到的力，由合力求出物体的加速度，进而得到物体的速度与时间的关系。关于平抛运动，我们仍然可以遵循这样的思路，只是要在相互垂直的两个方向上分别研究。

以速度 $v_{0}$ 沿水平方向抛出一物体，物体做平抛运动。以抛出点为原点，以初速度 $v_{0}$ 的方向为 $x$ 轴方向，竖直向下的方向为 $y$ 轴方向，建立平面直角坐标系（图 5.4-1）。

由于物体受到的重力是竖直向下的，它在 $x$ 方向的分力是 0，根据牛顿运动定律，物体在 $x$ 方向的加速度是 0；又由于物体在 $x$ 方向的分速度 $v_{x}$ 在运动开始的时候是 $v_{0}$ ，所以它将保持 $v_{0}$ 不变，与时间 $t$ 无关，即在整个运动过程中始终有：

v_{x} = v_{0}

在 $y$ 方向受到的重力等于 $m g$ 。以 $a$ 表示物体在 $y$ 方向的加速度，应用牛顿第二定律，得到 $m g = m a$ ，所以 $a = g$ ，即物体在竖直方向的加速度等于自由落体加速度。

物体的初速度 $v_{0}$ 沿 $x$ 方向，它在 $y$ 方向的分速度是 0，所以，物体在 $y$ 方向的分速度 $v_{y}$ 与时间 $t$ 的关系是：

v_{y} = g t

根据矢量运算法则，代表速度矢量 $v$ 和它的两个分矢量 $v_{x}$ 、 $v_{y}$ 的三个有向线段正好构成一个矩形的对角线和一对邻边（图 5.4-1）。由勾股定理可知：

v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \sqrt{v_{0}^{2} + g^{2} t^{2}}

由此式可知，物体在下落过程中速度 $v$ 越来越大，这与日常经验是一致的。

速度的方向可以由图 5.4-1 中的夹角 $θ$ 来表示。在图中， $θ$ 是直角三角形的一个锐角，它的正切等于对边与邻边之比，即：

\tan θ = \frac{v_{y}}{v_{x}} = \frac{g t}{v_{0}}

由上式可知，随着物体的下落，角 $θ$ 越来越大。也就是说，物体运动的方向越来越接近竖直向下的方向。这也与日常经验一致。

【例题 1】 将一个物体以 $10 m/s$ 的速度从 $10 m$ 的高度水平抛出，落地时它的速度方向与水平地面的夹角 $θ$ 是多少？不计空气阻力， $g$ 取 $10 {m/s}^{2}$ 。

分析物体在水平方向不受力，所以加速度的水平分量为 0，水平方向的分速度是初速度 $v_{0} = 10 m/s$ ；在竖直方向只受重力，加速度为 $g$ ，初速度的竖直分量为 0，可以应用匀变速直线运动的规律求出竖直方向的分速度。

按题意作图 5.4-2，求得分速度后就可以求得夹角 $θ$ 。

解以抛出时物体的位置 $O$ 为原点，建立平面直角坐标系， $x$ 轴沿初速度方向， $y$ 轴竖直向下。

落地时，物体在水平方向的分速度：

v_{x} = v_{0} = 10 m/s

根据匀变速直线运动的规律，落地时物体在竖直方向的分速度 $v_{y}$ 满足以下关系：

v_{y}^{2} - 0 = 2 g h

由此解出：

v_{y} = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \times 10 \times 10} m/s = 14.1 m/s

\tan θ = \frac{v_{y}}{v_{x}} = \frac{14.1}{10} = 1.41 ，即 θ = 55^{\circ}

物体落地时速度与水平地面的夹角 $θ$ 是 $55^{\circ}$ 。

平抛运动的位移与轨迹

物体被抛出后，它对于抛出点 $O$ 的位移的大小、方向都在变化。这种情况下我们就要分别研究它在水平和竖直两个方向上的分位移 $x$ 和 $y$ 。

通过前面的讨论我们已经知道，做平抛运动的物体在 $x$ 方向的分运动是匀速直线运动， $v_{x} = v_{0}$ 。根据做匀速直线运动物体的位移与时间的关系可知，这个物体的水平分位移与时间的关系是：

x = v_{0} t (1)

物体在 $y$ 方向的分运动是从静止开始、加速度为 $g$ 的匀加速运动， $v_{y} = g t$ 。根据自由落体运动的知识可知，做平抛运动的物体的竖直分位移与时间的关系是：

y = \frac{1}{2} g t^{2} (2)

物体的位置是用它的坐标 $x$ 、 $y$ 描述的，所以，（1）（2）两式确定了物体在任意时刻 $t$ 的位置和位移。

物体的位置和位移可以由 $x$ 、 $y$ 确定，物体的轨迹方程也可以由 $x$ 、 $y$ 确定。

从（1）式解出 $t = \frac{x}{v_{0}}$ ，代入（2）式，得到：^[6]

y = \frac{g}{2 v_{0}^{2}} x^{2} (3)

在这个式子中，自由落体加速度 $g$ 、物体的初速度 $v_{0}$ 都是常量，也就是说， $\frac{g}{2 v_{0}^{2}}$ 这个量与 $x$ 、 $y$ 无关，因此（3）式具有 $y = a x^{2}$ 的形式。根据数学知识可知，它的图像是一条抛物线（parabola）。

【做一做】 研究上节课所得到的钢球的运动轨迹，看看是否为一条抛物线。

【例题 2】 如图 5.4-3，某同学利用无人机玩“投弹”游戏。无人机以 $v_{0} = 2 m/s$ 的速度水平向右匀速飞行，在某时刻释放了一个小球。此时无人机到水平地面的距离 $h = 20 m$ ，空气阻力忽略不计， $g$ 取 $10 {m/s}^{2}$ 。（1）求小球下落的时间。（2）求小球释放点与落地点之间的水平距离。

分析忽略空气阻力，小球脱离无人机后做平抛运动，它在竖直方向的分运动是自由落体运动，根据自由落体运动的特点可以求出下落的时间，根据匀速直线运动的规律可以求出小球释放点与落地点之间的水平距离。

解（1）以小球从无人机释放时的位置为原点 $O$ 建立平面直角坐标系（图 5.4-4）， $x$ 轴沿初速度方向， $y$ 轴竖直向下。设小球的落地点为 $P$ ，下落的时间为 $t$ ，则满足：

h = \frac{1}{2} g t^{2}

所以小球落地的时间：

t = \sqrt{\frac{2 h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 20}{10}} s = 2 s

（2）因此，小球落地点与释放点之间的水平距离：

l = v_{0} t = 2 \times 2 m = 4 m

小球落地的时间为 $2 s$ ，落地点与释放点之间的水平距离为 $4 m$ 。

一般的抛体运动

如果物体被抛出时的速度 $v_{0}$ 不沿水平方向，而是斜向上方或斜向下方（这种情况常称为斜抛），它的受力情况与平抛运动完全相同：在水平方向不受力，加速度是 0；在竖直方向只受重力，加速度是 $g$ 。

但是，斜抛运动沿水平方向和竖直方向的初速度与平抛运动不同。如果斜抛物体的初速度 $v_{0}$ 与水平方向的夹角为 $θ$ ，则水平方向分速度 $v_{0 x} = v_{0} \cos θ$ ，竖直方向分速度 $v_{0 y} = v_{0} \sin θ$ 。

仿照平抛运动的处理方法也能得到描述斜抛运动的几个关系式。图 5.4-5 是根据这一规律描绘出的斜抛运动的轨迹。生活中常见的斜抛运动很多，比如斜向上喷出的水的径迹可以认为是斜抛运动的轨迹（图 5.4-6）。

【思考与讨论】 尝试导出表达图 5.4-5 所示的斜抛运动轨迹的关系式。讨论这个关系式中物理量之间的关系，看看能够得出哪些结论。

以上讨论有一个前提，即空气阻力可以忽略。如果速度不大，例如用手抛出一个石块，这样处理的误差不大。但是物体在空气中运动时，速度越大，阻力也越大，所以，研究炮弹的运动时就不能忽略空气阻力。根据你的推测，炮弹运动的实际轨迹大致是怎样的？

基尔霍夫（Gustav Robert Kirchhoff，1824 — 1887），德国物理学家、化学家、天文学家。 ↩︎
旁注：在初中数学里我们已经知道了圆的切线。对于其他曲线，切线指的是什么？ ↩︎
原文注脚：① 蜡的密度略小于水的密度。在蜡块上升的初期，它做加速运动，随后由于受力平衡而做匀速运动。 ↩︎
旁注：这里说的“常量”，指的是它不随位置、时间变化。因此， $y = \frac{v_{y}}{v_{x}} x$ 具有正比例函数关系的形式。 ↩︎
原文注脚：① 工作原理可以参考《普通高中教科书物理必修第一册》第一章第 3 节中的“借助传感器与计算机测速度”的内容。 ↩︎
旁注：平抛运动的轨迹是一条抛物线。数学中把二次函数的图像叫作抛物线，这个名称就是由抛体运动得来的。 ↩︎

第五章 抛体运动

第五章抛体运动