第五章教材习题

5.1 练习与应用

1. 跳水运动是一项难度很大又极具观赏性的运动，我国跳水队多次在国际跳水赛上摘金夺银，被誉为跳水“梦之队”。图 5.1-5 中虚线描述的是一位跳水运动员高台跳水时头部的运动轨迹，最后运动员沿竖直方向以速度 $v$ 入水。整个运动过程中，除运动员入水前一段时间外，在哪几个位置头部的速度方向与入水时速度 $v$ 的方向相同？在哪几个位置与速度 $v$ 的方向相反？在图中标出这些位置。

2. 图 5.1-6 是从高空拍摄的一张地形照片，河水沿着弯弯曲曲的河床做曲线运动。图中哪些地方河水的速度方向跟箭头所指 P 处流水的速度方向相同？请把这些地方标注出来。

3. 汽车以恒定的速率绕圆形广场一周用时 $2\text{ min}$，每行驶半周，速度方向改变的角度是多少？汽车每行驶 $10\text{ s}$，速度方向改变的角度是多少？先画一个圆表示汽车运动的轨迹，然后作出汽车在相隔 $10\text{ s}$ 的两个位置的速度矢量示意图。

4. 一质点沿着圆周运动。请证明：质点与圆心连线所扫过的角度与质点速度方向改变的角度相等。

5. 一个物体在光滑水平面上运动，其速度方向如图 5.1-7 中的 $v$ 所示。从 A 点开始，它受到向前但偏右（观察者沿着物体前进的方向看，下同）的合力。到达 B 点时，这个合力的方向突然变得与前进方向相同。到达 C 点时，合力的方向又突然改为向前但偏左。物体最终到达 D 点。请你大致画出物体由 A 至 D 的运动轨迹，并标出 B 点、C 点和 D 点。

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5.2 练习与应用

1. 炮筒与水平方向成 ${30}^{\circ }$ 角（图 5.2-5），炮弹从炮口射出时的速度大小是 $800\text{ m/s}$，这个速度在水平方向和竖直方向的分速度各是多大？

2. 在许多情况下，跳伞员跳伞后最初一段时间降落伞并不张开，跳伞员做加速运动。随后，降落伞张开，跳伞员做减速运动（图 5.2-6）。速度减小到一定值后便不再减小，跳伞员以这一速度做匀速运动，直至落地。无风时某跳伞员竖直下落，着地时速度是 $5\text{ m/s}$。现在有风，运动员在竖直方向的运动情况与无风时相同，并且风使他以 $4\text{ m/s}$ 的速度沿水平方向运动。跳伞员将以多大速度着地？画出速度合成的图示。

3. 一艘炮舰沿河由西向东行驶，在炮舰上发射炮弹射击北岸的目标。要击中目标，射击方向应直接对准目标，还是应该偏东或偏西一些？作俯视图，并说明理由。

4. 在图 5.2-1 的实验中，假设从某时刻（$t=0$）开始，红蜡块在玻璃管内每 $1\text{ s}$ 上升的距离都是 $10\text{ cm}$，与此同时，玻璃管向右沿水平方向匀加速平移，每 $1\text{ s}$ 内的位移依次是 $4\text{ cm}$、$12\text{ cm}$、$20\text{ cm}$、$28\text{ cm}$。在图 5.2-7 所示的坐标系中，$y$ 表示蜡块在竖直方向的位移，$x$ 表示蜡块随玻璃管通过的水平位移，$t=0$ 时蜡块位于坐标原点。请在图中标出 $t$ 等于 $1\text{ s}$、$2\text{ s}$、$3\text{ s}$、$4\text{ s}$ 时蜡块的位置，并用平滑曲线描绘蜡块的轨迹。

5. 汽艇以 $18\text{ km/h}$ 的速度沿垂直于河岸的方向匀速向对岸行驶，河宽 $500\text{ m}$。设想河水不流动，汽艇驶到对岸需要多长时间？如果河水流速是 $3.6\text{ km/h}$，汽艇驶到对岸需要多长时间？汽艇在对岸何处靠岸？

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5.3 练习与应用

1. 某同学设计了一个探究平抛运动特点的家庭实验装置，如图 5.3-7 所示。在水平桌面上放置一个斜面，每次都让钢球从斜面上的同一位置滚下，滚过桌边后钢球便做平抛运动。在钢球抛出后经过的地方水平放置一块木板（还有一个用来调节木板高度的支架，图中未画），木板上放一张白纸，白纸上有复写纸，这样便能记录钢球在白纸上的落点。已知平抛运动在竖直方向上的运动规律与自由落体运动相同，在此前提下，怎样探究钢球水平分速度的特点？请指出需要的器材，说明实验步骤。

2. 某同学为了省去图 5.3-7 中的水平木板，把第 1 题中的实验方案作了改变。他把桌子搬到墙的附近，把白纸和复写纸附在墙上，使从水平桌面上滚下的钢球能打在墙上，从而记录钢球的落点。改变桌子和墙的距离，就可以得到多组数据。如果采用这种方案，应该收集哪些数据并如何处理这些数据？

3. 某同学目测桌子高度大约为 $0.8\text{ m}$，他使小球沿桌面水平飞出，用数码相机拍摄小球做平抛运动的录像（每秒 25 帧）。如果这位同学采用逐帧分析的办法，保存并打印各帧的画面。他大约可以得到几帧小球正在空中运动的照片？

4. 小刚同学通过实验，得到了某物体在 $Oxy$ 平面上运动的一条运动轨迹，如图 5.3-8 平面直角坐标系中的 $OP$ 曲线所示。他根据物体运动轨迹的特点作出了猜想：如果物体在 $y$ 方向做匀速直线运动，那么物体在 $x$ 方向必定做匀加速直线运动。小刚同学的猜想是否成立？作图并给出你的分析过程。

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5.4 练习与应用

1. 用 $m$、$v_0$、$h$ 分别表示平抛运动物体的质量、初速度和抛出点离水平地面的高度，不考虑空气阻力，以下物理量是由上述哪个或哪几个物理量决定的？为什么？

   • A．物体在空中运动的时间
   • B．物体在空中运动的水平位移
   • C．物体落地时瞬时速度的大小
   • D．物体落地时瞬时速度的方向

2. 如图 5.4-7，在水平桌面上用硬练习本做成一个斜面，使小钢球从斜面上某一位置滚下，钢球沿桌面飞出后做平抛运动。怎样用一把刻度尺测量钢球离开水平桌面时速度的大小？说出测量步骤，写出用所测的物理量表达速度的关系式。

3. 某卡车在限速 $60\text{ km/h}$ 的公路上与路旁障碍物相撞。处理事故的警察在泥地中发现一个小的金属物体，可以判断，它是车顶上一个松脱的零件，事故发生时被抛出而陷在泥里。警察测得这个零件在事故发生时的原位置与陷落点的水平距离为 $17.3\text{ m}$，车顶距泥地的高度为 $2.45\text{ m}$。请你根据这些数据为该车是否超速提供证据。

4. 某个质量为 $m$ 的物体在从静止开始下落的过程中，除了重力之外还受到水平方向大小、方向都不变的力 $F$ 的作用。

   • （1）求它在时刻 $t$ 的水平分速度和竖直分速度。
   • （2）建立适当的坐标系，写出这个坐标系中代表物体运动轨迹的关系式。这个物体的运动轨迹是怎样的？

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第五章 复习与提高

A组

1. 物体在平面上的位置和位移常用平面直角坐标系来表示。图 5-1 是中国象棋的棋盘，它相当于一个平面直角坐标系，横坐标上标有数字，纵坐标上标有字母。利用它不仅可以准确地记录各棋子的位置，还能描述棋子的位移，从而能将双方对弈的过程记录下来。例如，棋子“帅”位于 $y=\text{J}$、$x=5$ 的位置，可以简述为 J5；棋子“象”从 $y=\text{A}$、$x=3$ 的位置运动到 $y=\text{C}$、$x=5$ 的位置，就可以简述为 A3C5。

   • （1）还未开局时，甲方的马在 J2 和 J8 的位置、炮在 H2 和 H8 的位置、中兵在 G5 的位置，乙方的中兵在 D5 的位置，请你在棋盘上标明这六个棋子的位置。
   • （2）某次甲方开局时，用“当头炮”，即 H8H5，而乙方的应变则是“马来跳”，即 A2C3。请你用带箭头的线段画出这两个位移 $l_{\text{甲}}$ 和 $l_{\text{乙}}$，并指出这两个位移在 $x$、$y$ 方向上的分位移各是多少？已知棋盘每个小方格都是边长为 $3\text{ cm}$ 的正方形。

2. 某质点从 A 点沿图 5-2 中的曲线运动到 B 点，质点受力的大小为 $F$。经过 B 点后，若力的方向突然变为与原来相反，它从 B 点开始可能沿图中的哪一条虚线运动？为什么？

3. 某架飞机在进行航空测量时，需要严格按照从南到北的航线进行飞行。如果在无风时飞机相对地面的速度是 $414\text{ km/h}$，飞行过程中航路上有速度为 $54\text{ km/h}$ 的持续东风。

   • （1）飞机应该朝着哪个方向飞行？可以用三角函数表示偏角的大小。
   • （2）如果所测地区的南北长度为 $621\text{ km}$，该测量需要多长时间？

4. 在水平路面上骑摩托车的人，遇到一个壕沟，其尺寸如图 5-3 所示。摩托车后轮离开地面后失去动力，可以视为平抛运动。摩托车后轮落到壕沟对面才算安全。摩托车的速度至少要多大才能越过这个壕沟？$g$ 取 $10{\text{ m/s}}^2$。

5. 一架飞机水平匀速飞行，搭载着多名高空跳伞运动员。每隔 $1\text{ s}$ 有一名运动员从飞机上落下。粗略画出第四名运动员刚离开飞机时，飞机和他们在空中的位置情况，此时相邻两运动员在竖直方向上的距离之比依次是多少？这段时间内伞没有打开，可忽略空气阻力。

6. 如图 5-4，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个由蜡做成的小圆柱体 R。R 从坐标原点以速度 $v_0=1\text{ cm/s}$ 匀速上浮的同时，玻璃管沿 $x$ 轴正方向做初速度为 0 的匀加速直线运动。测出某时刻 R 的 $x$、$y$ 坐标值分别为 $6\text{ cm}$ 和 $2\text{ cm}$。求此时 R 的速度的大小。

7. 跳台滑雪是一项勇敢者的运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。现有某运动员从跳台 A 处沿水平方向飞出，在斜坡 B 处着陆，如图 5-5 所示。测得 A、B 间的距离为 $40\text{ m}$，斜坡与水平方向的夹角为 ${30}^{\circ }$，试计算运动员在 A 处的速度大小和在空中飞行的时间。不计空气阻力，$g$ 取 $10{\text{ m/s}}^2$。

   • 有兴趣的同学可以计算一下运动员在空中离坡面的最大距离。

B组

1. 在篮球比赛中，投篮的投出角度太大和太小，都会影响投篮的命中率。在某次投篮表演中，运动员在空中一个漂亮的投篮，篮球以与水平面成 ${45}^{\circ }$ 的倾角准确落入篮筐，这次跳起投篮时，投球点和篮筐正好在同一水平面上（图 5-6），设投球点到篮筐距离为 $9.8\text{ m}$，不考虑空气阻力。

   • （1）篮球进筐的速度有多大？
   • （2）篮球投出后的最高点相对篮筐的竖直高度是多少？

2. 环保人员在一次检查时发现，有一根排污管正在向外满口排出大量污水。这根管道水平设置，管口离地面有一定的高度，如图 5-7 所示。现在，环保人员只有一把卷尺，请问需要测出哪些数据就可大致估测该管道的排污量？写出测量每秒排污体积的表达式。

3. 在某次演习中，轰炸机沿水平方向投放了一枚炸弹，炸弹正好垂直击中山坡上的目标，山坡的倾角为 $\theta$，如图 5-8 所示。不计空气阻力，求炸弹竖直方向下落的距离与水平方向通过的距离之比。

4. 一小球从空中某点水平抛出，经过 A、B 两点，已知小球在 A 点的速度大小为 $v_1$、方向与水平方向成 ${30}^{\circ }$ 角，小球在 B 点的速度方向与水平方向成 ${60}^{\circ }$ 角。不计空气阻力，重力加速度为 $g$，求小球由 A 到 B 的运动时间及 A、B 两点间的距离。

5. 如图 5-9，质量为 $m$ 的质点在 $Oxy$ 平面上以某一速度运动时（方向如图中箭头所示），受到大小不变、方向为 $-y$ 方向的合力作用，质点的速度先减小后增大。已知质点运动的最小速度为 $v$，合力的大小为 $F$。

   • （1）当质点速度大小变为 $2v$ 时，速度方向和 $x$ 方向之间的夹角是多大？
   • （2）质点速度由 $v$ 增加到 $2v$ 的过程用了多少时间？

6. 某质点在 $Oxy$ 平面上运动。$t=0$ 时，质点位于 $y$ 轴上。它在 $x$ 方向运动的速度—时间图像如图 5-10 甲所示，它在 $y$ 方向的位移—时间图像如图 5-10 乙所示。

   • （1）求 $t=0.5\text{ s}$ 时质点速度的大小和方向。
   • （2）说出 $t=0.5\text{ s}$ 时质点的位置。
   • （3）在平面直角坐标系上大致描绘质点在 $2\text{ s}$ 内的运动轨迹。