第六章圆周运动

Mr.Hope2026/7/7...大约 23 分钟

第六章圆周运动

在游乐场乘坐摩天轮时，人随摩天轮运动，轨迹为圆周。我们把这类轨迹为圆周或一段圆弧的机械运动称为圆周运动（circular motion）。和抛体运动一样，圆周运动也是一种常见的曲线运动。日常生活中，电风扇工作时叶片上的点、时钟指针的尖端、田径场弯道上赛跑的运动员等，都在做圆周运动。

在本章的学习中，我们将探索圆周运动所遵循的规律，以及这些规律在日常生活和科学技术中的应用。

6.1 圆周运动

物理学并不是自然界本身，是人类与自然界的对话。 ——普利高津 ^[1]

【问题】 将自行车后轮架起，转动脚踏板，注意观察：大、小两个齿轮边缘上的点，哪个运动得更快些？同一个齿轮上到转轴的距离不同的点，哪个运动得更快些？你能说出判断运动快慢的依据吗？

在上面的讨论中，同学们会出现不同的意见。为什么会有不同意见？因为到目前为止，关于圆周运动的快慢，还没有大家都认可的描述方法。

在图6.1-1中，物体沿圆弧由 $M$ 向 $N$ 运动，在某时刻 $t$ 经过 $A$ 点。为了描述物体经过 $A$ 点附近时运动的快慢，可以取一段很短的时间 $Δ t$ ，物体在这段时间内由 $A$ 运动到 $B$ ，通过的弧长为 $Δ s$ 。弧长 $Δ s$ 与时间 $Δ t$ 之比反映了物体在 $A$ 点附近运动的快慢，如果 $Δ t$ 非常非常小， $\frac{Δ s}{Δ t}$ 就可以表示物体在 $A$ 点时运动的快慢，通常把它称为线速度（linear velocity）的大小，用符号 $v$ 表示，则有：^[2]

v = \frac{Δ s}{Δ t}

线速度的方向为物体做圆周运动时该点的切线方向。

需要说明的是，当 $Δ t$ 足够小时， $\overset{⏜}{A B}$ 与线段 $A B$ 几乎没有差别，此时，弧长 $Δ s$ 也就等于物体由 $A$ 到 $B$ 的位移 $Δ l$ 的大小。因此，这里的线速度实际上就是我们在直线运动中已经学过的瞬时速度，不过现在用来描述圆周运动而已。

如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动（uniform circular motion）。应该注意的是，匀速圆周运动的线速度方向是在时刻变化的，因此它是一种变速运动，这里的“匀速”是指速率不变。

角速度

自行车前进时，由于链条不可伸长，也不会脱离齿轮打滑（图6.1-2），因而大、小齿轮边缘的点在相等时间内通过的弧长是相等的，即线速度大小相等。但同时也可注意到，由于两个齿轮的半径不同，相等时间内它们转过的角度不同。我们引入角速度这个物理量来描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢。

如图6.1-3所示，物体在 $Δ t$ 时间内由 $A$ 运动到 $B$ 。半径 $O A$ 在这段时间内转过的角 $Δ θ$ 与所用时间 $Δ t$ 之比叫作角速度（angular velocity），用符号 $ω$ 表示：

ω = \frac{Δ θ}{Δ t}

角速度的单位由角的单位和时间的单位共同决定。在国际单位制中，时间的单位是秒，角的单位是弧度（radian），符号是 $rad$ ，所以角速度的单位是弧度每秒，符号是 $rad/s$ 。在运算中，通常把“弧度”或“ $rad$ ”略去不写，所以角速度的单位可以写为 $s^{- 1}$ 。

由于匀速圆周运动是线速度大小不变的运动，物体在相等时间内通过的弧长相等，所以物体在相等时间内转过的角度也相等。因此可以说，匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。

周期

圆周运动有其特殊性，物体运动一周后又会返回到初始位置，周而复始地运动着。如坐在旋转木马上的小孩运动一周后又回到他开始的位置（图6.1-4）。为了描述圆周运动的这种周期性，常常需要周期这个物理量。

做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间叫作周期（period），用 $T$ 表示。周期也是常用的物理量，它的单位与时间的单位相同。

技术中常用转速来描述物体做圆周运动的快慢。转速是指物体转动的圈数与所用时间之比，常用符号 $n$ 表示，转速的单位为转每秒（ $r/s$ ），或转每分（ $r/min$ ）。 $r/s$ 和 $r/min$ 都不是国际单位制中的单位，运算时往往要把它们换算成弧度每秒。

线速度与角速度的关系

线速度的大小描述了做圆周运动的物体沿着圆弧运动的快慢，角速度的大小描述了物体与圆心连线扫过角度的快慢。它们之间有什么关系呢？

在图6.1-3中，设物体做圆周运动的半径为 $r$ ，由 $A$ 运动到 $B$ 的时间为 $Δ t$ ， $\overset{⏜}{A B}$ 的长度为 $Δ s$ ， $\overset{⏜}{A B}$ 对应的圆心角为 $Δ θ$ 。

由于 $v = \frac{Δ s}{Δ t}$ ， $ω = \frac{Δ θ}{Δ t}$ ，当 $Δ θ$ 以弧度为单位时， $Δ θ = \frac{Δ s}{r}$ ，由此可得：

v = ω r

这表明，在圆周运动中，线速度的大小等于角速度的大小与半径的乘积。

【例题】 一个小孩坐在游乐场的旋转木马上，绕中心轴在水平面内做匀速圆周运动，圆周的半径为 $4.0 m$ 。当他的线速度为 $2.0 m/s$ 时，他做匀速圆周运动的角速度是多少？周期是多少？

分析已知小孩做匀速圆周运动的半径和线速度，可以根据线速度、角速度、周期之间的关系，求出他做匀速圆周运动的角速度和周期。

解当小孩的线速度为 $2.0 m/s$ 时，他做匀速圆周运动的角速度：

ω = \frac{v}{r} = \frac{2.0}{4.0} rad/s = 0.5 rad/s

他做匀速圆周运动的周期：

T = \frac{2 π r}{v} = \frac{2 π \times 4.0}{2.0} s = 12.6 s

当小孩的线速度为 $2.0 m/s$ 时，他做匀速圆周运动的角速度是 $0.5 rad/s$ ，周期是 $12.6 s$ 。

6.2 向心力

【问题】 游乐场里有各种有趣的游戏项目。空中飞椅因其刺激性而深受很多年轻人的喜爱。飞椅与人一起做匀速圆周运动的过程中，受到了哪些力？所受合力的方向有什么特点？

向心力

做圆周运动的物体，其运动状态在不断变化，说明物体一定受到了力的作用。那么迫使物体做圆周运动的力的方向有何特点呢？

【思考与讨论】 一个小球在细线的牵引下，绕光滑桌面上的图钉做匀速圆周运动（图6.2-1）。用剪刀将细线剪断，观察小球的运动。你认为使小球做圆周运动的力指向何方？

忽略小球运动时受到的阻力，在桌面上做匀速圆周运动的小球所受的合力为细线的拉力，拉力即为使小球做圆周运动的力，根据拉力的特点可以知道拉力的方向指向圆心。

大量实例都表明：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心。这个指向圆心的力就叫作向心力（centripetal force）。

对于做匀速圆周运动的物体，物体的速度大小不发生改变，因此，所受合力只改变速度的方向。

应该强调的是，向心力并不是像重力、弹力、摩擦力那样作为具有某种性质的力来命名的。它是由某个力或者几个力的合力提供的，是根据力的作用效果命名的。例如，地球绕太阳的运动可近似看作匀速圆周运动，太阳对地球的引力提供向心力；在本节的“问题”所说的空中飞椅项目中，飞椅与人一起做匀速圆周运动的向心力 $F_{n}$ 则是由绳子斜向上的拉力 $F$ 和所受重力 $G$ 的合力提供的（图6.2-2）。

向心力的大小

在物理学中，认识物理量时可以先定性了解，然后再探究不同物理量之间的定量关系。因此，我们也先通过实验感受向心力大小与圆周运动的一些运动学量之间的定性关系，再通过实验，进一步探究向心力的大小与这些量的定量关系。

【做一做】感受向心力 如图6.2-3所示，在绳子的一端拴一个小沙袋（或其他小物体），另一端握在手中。将手举过头顶，使沙袋在水平面内做圆周运动。此时，沙袋所受的向心力近似等于手通过绳对沙袋的拉力。换用不同质量的沙袋，并改变沙袋转动的速度和绳的长度，感受向心力的变化。

因为沙袋还受到重力的作用，手所提供的拉力不完全是向心力。但这个实验对于体会向心力的大小与哪些量有关，还是很有意义的。通过上面的实验可以发现，做圆周运动的物体所受向心力的大小与哪些因素有关系？我们还可以利用向心力演示器对此进行更深入的定量研究。

【实验】探究向心力大小的表达式 向心力演示器如图6.2-4所示。匀速转动手柄1，可以使变速塔轮2 and 3以及长槽4和短槽5随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动。使小球做匀速圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供。球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8。根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值。

用上面介绍的器材研究向心力大小与物体的质量、速度和轨道半径的关系时，怎样才能在改变某个物理量时保持其他物理量不变？

精确的实验表明，向心力的大小可以表示为：

F_{n} = m ω^{2} r

或者：

F_{n} = m \frac{v^{2}}{r}

变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点

仔细观察运动员掷链球时的动作，结合手握绳子使沙袋加速转动的体会，可以发现：我们使沙袋加速转动时，绳子牵引沙袋的方向并不与沙袋运动的方向垂直。也就是说，沙袋加速时，它所受的力并不严格指向运动轨迹的圆心。

图6.2-5表示做圆周运动的沙袋正在加速转动的情况。 $O$ 是沙袋运动轨迹的圆心， $F$ 是绳对沙袋的拉力。根据 $F$ 产生的效果，可以把 $F$ 分解为两个相互垂直的分力：跟圆周相切的分力 $F_{t}$ 和指向圆心的分力 $F_{n}$ 。 $F_{t}$ 与沙袋运动的速度同向，使沙袋的速度越来越大； $F_{n}$ 指向圆心，提供沙袋做圆周运动所需的向心力，改变沙袋速度的方向。

【思考与讨论】 当物体做圆周运动的线速度逐渐减小时，物体所受合力的方向与速度方向的夹角是大于90°还是小于90°呢？

运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，可以称为一般的曲线运动。尽管这时曲线各个位置的弯曲程度不一样，但在研究时，可以把这条曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分（图6.2-6）。这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理了。

6.3 向心加速度

【问题】 天宫二号空间实验室在轨飞行时，可认为它绕地球做匀速圆周运动。尽管线速度大小不变，但方向却时刻变化，因此，它运动的加速度一定不为 0。那么，该如何确定它在轨飞行时加速度的方向和大小呢？

匀速圆周运动的加速度方向

物体做匀速圆周运动时，所受合力提供向心力，合力的方向总是指向圆心，如图 6.3-1 所示。根据牛顿第二定律，物体运动的加速度方向与它所受合力的方向相同。因此，物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，我们把它叫作向心加速度（centripetal acceleration）^[3]。

我们知道，加速度是速度的变化率。在研究直线运动时，我们曾通过分析速度变化的情况，得出直线运动的加速度大小和方向。其实，在研究匀速圆周运动时，同样可以通过这种办法来确定加速度的方向。用运动学的方法求向心加速度的方向，在本节后的“拓展学习”中会涉及。

匀速圆周运动的加速度大小

上一节我们学习了向心力大小的表达式。根据牛顿第二定律 $F = m a$ 和向心力表达式 $F_{n} = m \frac{v^{2}}{r}$ ，可得出向心加速度的大小：

a_{n} = \frac{v^{2}}{r}

或

a_{n} = ω^{2} r

【思考与讨论】 从公式 $a_{n} = \frac{v^{2}}{r}$ 看，线速度一定时，向心加速度与圆周运动的半径成反比；从公式 $a_{n} = ω^{2} r$ 看，角速度一定时，向心加速度与半径成正比。自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径不一样，它们的边缘有三个点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，如图 6.3-2 所示。其中哪两点向心加速度的关系适用于“向心加速度与半径成正比”，哪两点适用于“向心加速度与半径成反比”？给出解释。

【例题】 如图 6.3-3 所示，在长为 $l$ 的细绳下端拴一个质量为 $m$ 的小球，捏住绳子的上端，使小球在水平面内做圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。当绳子跟竖直方向的夹角为 $θ$ 时，小球运动的向心加速度 $a_{n}$ 的大小为多少？通过计算说明：要增大夹角 $θ$ ，应该增大小球运动的角速度 $ω$ 。

分析由于小球在水平面内做圆周运动，向心加速度的方向始终指向圆心。可以根据受力分析，求出向心力的大小，进而求出向心加速度的大小。根据向心加速度公式，分析小球做圆周运动的角速度 $ω$ 与夹角 $θ$ 之间的关系。

解根据对小球的受力分析，可得小球的向心力：

F_{n} = m g \tan θ

根据牛顿第二定律可得小球运动的向心加速度：

a_{n} = \frac{F_{n}}{m} = g \tan θ (1)

根据几何关系可知小球做圆周运动的半径：

r = l \sin θ (2)

把向心加速度公式 $a_{n} = ω^{2} r$ 和（2）式代入（1）式，可得：

\cos θ = \frac{g}{l ω^{2}}

从此式可以看出，当小球运动的角速度 $ω$ 增大时，夹角 $θ$ 也随之增大。因此，要增大夹角 $θ$ ，应该增大小球运动的角速度 $ω$ 。

拓展学习：推导向心加速度公式

下面用运动学的方法求做匀速圆周运动物体的向心加速度的方向与大小。

向心加速度的方向 如图 6.3-4 甲所示，一物体沿着圆周运动，在 $A$ 、 $B$ 两点的速度分别为 $v_{A}$ 、 $v_{B}$ ，可以分四步确定物体运动的加速度方向。第一步，根据曲线运动的速度方向沿着切线方向，画出物体经过 $A$ 、 $B$ 两点时的速度方向，分别用 $v_{A}$ 、 $v_{B}$ 表示，如图甲所示。第二步，平移 $v_{A}$ 至 $B$ 点，如图乙所示。第三步，根据矢量运算法则，做出物体由 $A$ 点到 $B$ 点的速度变化量 $Δ v$ ，其方向由 $v_{A}$ 的箭头位置指向 $v_{B}$ 的箭头位置，如图丙所示。由于物体做匀速圆周运动， $v_{A}$ 、 $v_{B}$ 的大小相等，所以， $Δ v$ 与 $v_{A}$ 、 $v_{B}$ 构成等腰三角形。第四步，假设由 $A$ 点到 $B$ 点的时间极短，在匀速圆周运动的速度大小一定的情况下， $A$ 点到 $B$ 点的距离将非常小，作出此时的 $Δ v$ ，如图丁所示。

仔细观察图丁，可以发现，此时， $Δ v$ 与 $v_{A}$ 、 $v_{B}$ 几乎都垂直，因此 $Δ v$ 的方向几乎沿着圆周的半径，指向圆心。由于加速度 $a$ 与 $Δ v$ 的方向是一致的，所以从运动学角度分析也可以发现：物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。

向心加速度的大小 仔细观察图丁，还可以发现，当 $Δ t$ 足够小时， $v_{A}$ 、 $v_{B}$ 的夹角 $θ$ 就足够小， $θ$ 角所对的弦和弧的长度就近似相等。因此， $θ = \frac{Δ v}{v}$ ，在 $Δ t$ 时间内，速度方向变化的角度 $θ = ω Δ t$ 。由此可以求得：

Δ v = v ω Δ t

将此式代入加速度定义式 $a = \frac{Δ v}{Δ t}$ ，并把 $v = ω r$ 代入，可以导出向心加速度大小的表达式为：

a_{n} = ω^{2} r

上式也可以写成：

a_{n} = \frac{v^{2}}{r}

它与根据牛顿第二定律得到的结果是一致的。

6.4 生活中的圆周运动

【问题】 在铁路弯道处，稍微留意一下，就能发现内、外轨道的高度略有不同。你能解释其中的原因吗？

圆周运动是一种常见的运动形式，在生活中有着广泛的应用。

火车转弯

火车转弯时实际是在做圆周运动，因而具有向心加速度。是什么力使它产生向心加速度？与汽车轮胎不同的是，火车的车轮上有突出的轮缘（图 6.4-1）。

如果铁路弯道的内外轨一样高，火车转弯时，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨对轮缘的弹力是火车转弯所需向心力的主要来源（图 6.4-2）。但是，火车质量太大，靠这种办法得到向心力，将会使轮缘与外轨间的相互作用力过大，不仅铁轨和车轮极易受损，还可能使火车侧翻。

如果在弯道处使外轨略高于内轨（图 6.4-3），火车转弯时铁轨对火车的支持力 $F_{N}$ 的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力 $G$ 的合力指向圆心，为火车转弯提供了一部分向心力。这就减轻了轮缘与外轨间的挤压。在修筑铁路时，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力 $G$ 和支持力 $F_{N}$ 的合力来提供。

从这个例子我们再一次看出，向心力是按效果命名的力，任何一个力或几个力的合力，只要它的作用效果是使物体产生向心加速度，它就是物体的向心力。如果认为做匀速圆周运动的物体除了受到另外物体的作用，还要再受一个向心力，那就不对了。

【思考与讨论】 高速公路转弯处和场地自行车比赛的赛道，路面往往有一定的倾斜度。说说这样设计的原因。

汽车过拱形桥

汽车过拱形桥时的运动也可以看作圆周运动。质量为 $m$ 的汽车在拱形桥上以速度 $v$ 前进，设桥面的圆弧半径为 $r$ ，我们来分析汽车通过桥的最高点时对桥的压力 ^[4]。

选汽车为研究对象。分析汽车所受的力（图 6.4-4），如果知道了桥对汽车的支持力 $F_{N}$ ，桥所受的压力也就知道了。

汽车在竖直方向受到重力 $G$ 和桥的支持力 $F_{N}$ ，它们的合力就是使汽车做圆周运动的向心力 $F$ 。鉴于向心加速度的方向是竖直向下的，故合力为：

F = G - F_{N}

当汽车通过桥的最高点时，根据牛顿第二定律 $F = m a$ ，有：

F = m \frac{v^{2}}{r}

所以：

G - F_{N} = m \frac{v^{2}}{r}

由此解出桥对车的支持力：

F_{N} = G - m \frac{v^{2}}{r}

汽车对桥的压力 $F_{N}^{'}$ 与桥对汽车的支持力 $F_{N}$ 是一对作用力和反作用力，大小相等。所以压力的大小为：

F_{N}^{'} = G - m \frac{v^{2}}{r}

由此可以看出，汽车对桥的压力 $F_{N}^{'}$ 小于汽车所受的重力 $G$ ，而且汽车的速度越大，汽车对桥的压力越小。试分析，当汽车以越来越大的速度通过拱形桥的最高点时，会发生什么现象？

公路在通过小型水库泄洪闸的下游时常常要修建凹形路面，也叫“过水路面”。汽车通过凹形路面的最低点时（图 6.4-5），车对地面的压力比汽车所受的重力大些还是小些？同学们可以仿照上面的方法自己进行分析。

【思考与讨论】 可以把地球看作一个巨大的拱形桥（图 6.4-6），桥面的半径就是地球的半径 $R$ 。地面上有一辆汽车在行驶，所受重力 $G = m g$ ，地面对它的支持力是 $F_{N}$ 。

根据上面的分析，汽车速度越大，地面对它的支持力就越小。会不会出现这样的情况：速度大到一定程度时，地面对车的支持力是 0 ？这时驾驶员与座椅之间的压力是多少？驾驶员躯体各部分之间的压力是多少？他这时可能有什么感觉？

航天器中的失重现象

上面“思考与讨论”中描述的场景其实已经实现了，不过不是在汽车上，而是在航天器中。我们以绕地球做匀速圆周运动的宇宙飞船为例作些说明。当飞船距地面高度为 $100 \sim 200 km$ 时，它的轨道半径近似等于地球半径 $R$ ，航天员受到的地球引力近似等于他在地面受到的重力 $m g$ ^[5]。

除了地球引力外，航天员还可能受到飞船座舱对他的支持力 $F_{N}$ 。引力与支持力的合力为他提供了绕地球做匀速圆周运动所需的向心力 ^[6]，即：

m g - F_{N} = m \frac{v^{2}}{R}

也就是：

F_{N} = m (g - \frac{v^{2}}{R})

由此可以解出，当 $v = \sqrt{g R}$ 时座舱对航天员的支持力 $F_{N} = 0$ ，航天员处于完全失重状态。

离心运动

做圆周运动的物体，由于惯性，总有沿着切线方向飞出去的倾向。但是物体没有飞出去，这是因为向心力在拉着它，使它与圆心的距离保持不变。一旦向心力突然消失，物体就会沿切线方向飞出去。

除了向心力突然消失这种情况外，在合力不足以提供所需的向心力时，物体虽然不会沿切线飞去，也会逐渐远离圆心（图 6.4-7）。

这里描述的运动叫作离心运动。离心运动有很多应用。例如，洗衣机脱水时利用离心运动把附着在物体上的水分甩掉；纺织厂也用这样的方法使棉纱、毛线、纺织品干燥。在炼钢厂中，把熔化的钢水浇入圆柱形模子，模子沿圆柱的中心轴线高速旋转，钢水由于离心运动趋于周壁，冷却后就形成无缝钢管。水泥管道和水泥电线杆的制造也可以采用这种离心制管技术。借助离心机，医务人员可以从血液中分离出血浆和红细胞（图 6.4-8）。

离心运动有时也会带来危害。在水平公路上行驶的汽车，如果转弯时速度过大，所需向心力 $F$ 很大，大于最大静摩擦力 $F_{max}$ ，汽车将做离心运动而造成事故（图 6.4-9）。因此，在公路弯道，车辆不允许超过规定的速度。

高速转动的砂轮、飞轮等，都不得超过允许的最大转速。转速过高时，砂轮、飞轮内部分子间的相互作用力不足以提供所需向心力，离心运动会使它们破裂，酿成事故。

普利高津（Ilya Romanovich Prigogine，1917—2003），比利时物理学家、化学家，诺贝尔化学奖获得者。 ↩︎
编者注：上一章曾讲到曲线运动速度的方向与轨迹相切，这里的结论是与前面一致的。 ↩︎
边注：牛顿第二定律不仅适用于直线运动，对曲线运动同样适用。 ↩︎
旁注：汽车在拱形桥上但不在最高点时，又该如何分析汽车所受的向心力？ ↩︎
边注：有人把航天器失重的原因说成是它离地球太远，从而摆脱了地球引力，这是错误的。正是由于地球引力的存在，才使航天器连同其中的乘员有可能做环绕地球的圆周运动。 ↩︎
边注：这里的分析仅仅针对圆轨道而言。其实任何关闭了发动机，又不受阻力的飞行器的内部，都是一个完全失重的环境。例如向空中任何方向抛出的容器，其中的所有物体都处于完全失重状态。 ↩︎

第六章 圆周运动

第六章圆周运动