第四章 运动和力的关系

前面我们学习了怎样描述物体的运动，但是没有讨论物体为什么会做这种或那种运动。要讨论这个问题，必须知道运动和力的关系。在力学中，只研究物体怎样运动而不涉及运动和力的关系的分支，叫作运动学（kinematics）；研究运动和力的关系的分支，叫作动力学（dynamics）。

动力学知识在生产和科学研究中很重要，设计各种机器，控制交通工具，研究天体运动等，都离不开动力学知识。

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4.1 牛顿第一定律

牛顿是世界上从未有过的最伟大的科学家。 ——阿西莫夫 ^[1]

【问题】
初中我们学习了牛顿第一定律的基本内容，你能说说它揭示了物体运动遵循怎样的规律吗？滑冰运动员如果不用力，他会慢慢停下来。这是否与牛顿第一定律矛盾呢？

爱因斯坦曾把一代代科学家探索自然奥秘的努力，比作侦探小说中警员破案的过程。在侦探小说中，有时候明显可见的线索却把人们引到错误的判断上去。

长期以来，在研究物体运动原因的过程中，人们的经验是：要使一个物体运动，必须推它或拉它。因此，人们直觉地认为，物体的运动是与推、拉等行为相联系的，如果不再推、拉，原来运动的物体便会停止下来。根据这类经验，亚里士多德得出结论：必须有力作用在物体上，物体才能运动；没有力的作用，物体就要静止在某个地方。然而，在探究运动原因的“侦探小说”里，这正是由明显的线索引出错误判断的案例，而且这个“错案”维持了很久。直至近四百年前，伽利略才创造了有效的“侦察”方法，发现了正确的线索，揭示了事物现象的本质，成为物理学中的“神探”。^[2]

理想实验的魅力

伽利略认为，将人们引入歧途的是摩擦，而物体在通常情况下运动时，摩擦又是难以避免的。

伽利略注意到，当一个球沿斜面向下滚动时，它的速度增大；向上滚动时，速度减小。他由此猜想：当球沿水平面滚动时，它的速度应该不增不减。然而，实际情况却是，即使沿水平面滚动，球也会越滚越慢，最后停了下来。伽利略认为这是摩擦作用的结果。若没有摩擦，球将永远运动下去。

为了阐明自己的观点，伽利略设计了，所示的实验：让一个小球沿斜面从静止状态开始运动，小球将“冲”上另一个斜面。如果没有摩擦，小球将到达原来的高度。如果第二个斜面倾角减小，小球仍将到达原来的高度，但是运动的距离更长。由此可以推断，当斜面最终变为水平面时，小球要到达原有高度将永远运动下去。这说明，力不是维持物体运动的原因。^[3]

我们知道，阻力不可能完全消除，第二个斜面也不可能做得无限长，所以，伽利略的实验是一个“理想实验”。虽然这个实验无法实现，但是，伽利略在实验基础上进一步推理的方法，帮助我们找到了解决运动和力的关系问题的方法。

伽利略同时代的法国科学家笛卡儿也研究了这个问题。他认为，如果运动中的物体没有受到力的作用，它将继续以同一速度沿同一直线运动，既不会停下来，也不会偏离原来的方向。他还认为，这应该成为一个原理，是人类整个自然观的基石。

牛顿第一定律

在伽利略和笛卡儿工作的基础上，在隔了一代人以后，英国科学家牛顿提出了动力学的一条基本定律：一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。这就是牛顿第一定律（Newton’s first law）。物体这种保持原来匀速直线运动状态或静止状态的性质叫作惯性（inertia）。牛顿第一定律也叫作惯性定律。

任何物体都和周围的物体有相互作用，不受力作用的物体是不存在的。所以，牛顿第一定律所描述的状态是一种理想状态。它是利用逻辑思维进行分析的产物，不可能用实验直接验证。

牛顿第一定律揭示了运动和力的关系：力不是维持物体运动状态的原因，而是改变物体运动状态的原因。保持静止或匀速直线运动状态是物体的固有属性，这一属性称为惯性。惯性不是外界强加给它的，是物体固有的，一切物体都具有惯性。牛顿第一定律为力学的发展奠定了坚实的基础。^{[4] [5] [6]}

图：牛顿（Isaac Newton，1643—1727）

惯性与质量

牛顿第一定律涉及两个重要的物理概念：力和惯性。有关力的内容我们在上一章已经有所认识，下面我们进一步来讨论惯性。

【思考与讨论】
从牛顿第一定律得知，物体都要保持它们原有的匀速直线运动状态或静止状态。也可以说，它们都具有抵抗运动状态变化的“能力”，即都具有惯性。那么，怎样描述惯性的大小呢？

我们在改变物体运动状态时，会体验到物体惯性大小的不同。例如，以相同的方式抛掷质量不同的两个石块，让它们获得同样的速度，需要的力就不同。质量大的石块需要的力大。再比如，让摆动的大沙袋停下来就比让摆动的小球停下来费力得多。

大量事例说明，不同质量的物体，惯性的大小是不一样的。也就是说，不同物体维持其原有运动状态的“能力”不同，质量大的物体惯性大。描述物体惯性的物理量是它的质量（mass）。^[7]

质量只有大小，没有方向，是标量。在国际单位制中，质量的单位是千克，符号为 $\text{kg}$。

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【拓展学习】惯性参考系

在桌面上放置一张纸和一个小钢球，小钢球静止在纸面上。如果突然迅速拉动纸的一边，虽然小钢球相对桌面的位置几乎不变，但是如果只关注纸面及其上的小钢球时，你会发现小钢球相对于纸面向相反的方向运动。

当纸相对于桌面加速运动时，如果以这张纸为参考系来观察，小钢球相对于纸面的运动状态在改变。按照牛顿第一定律，小钢球的运动状态发生改变，说明小钢球在水平方向上应该受到力的作用。但实际上，小钢球只受到竖直方向的重力和支持力，水平方向几乎不受力，这不是和牛顿第一定律相矛盾吗？

若以地面为参考系，上述矛盾则不会存在。因为，在纸加速运动的过程中，尽管小钢球相对于纸面的运动状态在改变，但它相对于地面的位置并没有变化，因而仍然保持静止状态。这与用牛顿第一定律分析得到的结论是一致的。对于同一个物体的运动，为何会得到两种不同的分析结果呢？

这是由于我们观察物体的运动时所选择的参考系不同。牛顿第一定律是否成立与选择什么参考系有关。如果在一个参考系中，一个不受力的物体会保持匀速直线运动状态或静止状态，这样的参考系叫作惯性参考系，简称惯性系。以加速运动的纸为参考系，牛顿第一定律并不成立，这样的参考系叫作非惯性系。

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4.2 实验：探究 加速度与力、质量的关系

速度是描述物体运动状态的物理量，加速度是描述速度变化快慢的物理量。因此也可以说，加速度是描述物体运动状态变化快慢的物理量。由前面的学习我们知道，力是改变物体运动状态的原因，质量大的物体运动状态不容易改变。这说明，加速度与力、质量之间必然存在一定的关系。下面我们来探究加速度与力、质量之间的定量关系。

实验思路

你认为应该如何完成这个探究实验？比如，研究什么物体？如何测量该物体受到的力？如何测量该物体的加速度？怎样分析数据？请说出你的设计思路并和同学们讨论确定实验探究方案。

用所示的装置可以完成这个探究实验。将小车置于水平木板上，通过滑轮与槽码相连。小车可以在槽码的牵引下运动。^{[8] [9]}

加速度与力的关系
保持小车质量不变，通过改变槽码的个数改变小车所受的拉力。小车所受的拉力可认为与槽码所受的重力相等。测得不同拉力下小车运动的加速度，分析加速度与拉力的变化情况，找出二者之间的定量关系。

加速度与质量的关系
保持小车所受的拉力不变，通过在小车上增加重物改变小车的质量。测得不同质量的小车在这个拉力下运动的加速度，分析加速度与质量的变化情况，找出二者之间的定量关系。

物理量的测量

本实验需要测量的物理量有三个：物体的质量、物体所受的作用力和物体运动的加速度。

质量的测量
可以用天平测量质量。为了改变小车的质量，可以在小车中增减钩码的数量。

加速度的测量

• 方法 1 小车做初速度为 0 的匀加速直线运动，则测量小车加速度最直接的办法就是用刻度尺测量小车移动的位移 $x$，并用秒表测量发生这段位移所用的时间 $t$，然后由

  $$a=\frac{2x}{t^2}(1)$$

  计算出加速度 $a$。

• 方法 2 将打点计时器的纸带连在小车上，根据纸带上打出的点来测量加速度（参考第一章的实验方法）。

• 方法 3 在这个实验中也可以不测量加速度的具体数值。这是因为我们探究的是加速度与其他物理量之间的比例关系，因此测量不同情况下物体加速度的比值即可。
  如果能做到让两个做初速度为 0 的匀加速直线运动的物体的运动时间 $t$ 相等，那么由 (1) 式可知，它们的位移之比就等于加速度之比，即

  $$\frac{x_1}{x_2}=\frac{a_1}{a_2}(2)$$

  这样，测量加速度就转换成测量位移了。

力的测量
现实中，仅受一个力作用的物体几乎不存在。然而，一个单独的力的作用效果与跟它大小、方向都相同的合力的作用效果是相同的。因此，实验中作用力 $F$ 的含义可以是物体所受的合力。^[10]

如何为运动的物体提供一个恒定的合力，如何测出这个合力是本实验的关键，有很多可行的方法。下面参考案例中的方法可供选用，也可以设计其他方法。

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参考案例 1：探究加速度与力、质量的关系

实验装置，所示。把木板的一侧垫高，以平衡小车受到的阻力。调节木板的倾斜度，使小车在不受牵引时能拖动纸带沿木板匀速运动。将槽码、小车、打点计时器、纸带安装好。通过改变槽码的个数可以成倍地改变小车所受的拉力，与此相对应，处理纸带上打出的点来测量加速度。

保持小车受的拉力不变，通过增减小车中的重物改变小车的质量。处理纸带上打出的点来测量加速度。

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参考案例 2：通过位移之比测量加速度之比

将两辆相同的小车放在水平木板上，前端各系一条细线，线的另一端跨过定滑轮各挂一个小盘，盘中可以放不同的重物。把木板一端垫高，采用参考案例 1 的方法平衡阻力。

两辆小车后端各系一条细线，用一个物体，例如黑板擦，把两条细线同时按压在木板上。抬起黑板擦，两辆小车同时开始运动，按下黑板擦，两辆小车同时停下来。用刻度尺测出两辆小车移动的位移 $x_1$、$x_2$。由于两辆小车运动时间 $t$ 相同，从它们的位移之比就可以得出加速度之比。

在盘中重物相同的情况下，通过增减小车中的重物改变小车的质量。

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进行实验

调试实验装置进行实验。

加速度与力的关系
设计表格，把测得的同一个小车在不同拉力 $F$ 作用下的加速度 $a$ 填在表 1 中。

表 1 小车质量一定

拉力 $F$
加速度 $a$

加速度与质量的关系
设计表格，把测得的不同质量的小车在相同拉力作用下的加速度 $a$ 填在表 2 中。

表 2 小车所受的拉力一定

质量 $m$
加速度 $a$

数据分析

为了更直观地判断加速度 $a$ 与拉力 $F$ 的定量关系，我们以 $a$ 为纵坐标、$F$ 为横坐标建立直角坐标系。根据各组实验数据在坐标纸上描点。如果这些点在一条过原点的直线附近，说明加速度 $a$ 与拉力 $F$ 成正比。如果不是这样，则需进一步分析。

为了分析加速度 $a$ 与质量 $m$ 的定量关系，我们同样需要建立直角坐标系。经验告诉我们，在相同拉力作用下，质量 $m$ 越大，加速度 $a$ 越小。这可能是“$a$ 与 $m$ 成反比”，但也可能是“$a$ 与 $m^2$ 成反比”，甚至是更复杂的关系。我们从最简单的情况入手，检验是否“$a$ 与 $m$ 成反比”。

实验结果，所示，我们很难直观看出图线是否为双曲线，如何解决这个问题呢？

如果 $a-m$ 图像是双曲线，$a$ 与 $m$ 成反比，也就是 $a$ 与 $\frac{1}{m}$ 成正比。作 $a-\frac{1}{m}$ 图像进行检验。如果检验的结果是过原点的直线，就可以判断加速度 $a$ 与质量 $m$ 是成反比的。^[11]

上述探究实验也可以用参考案例 2 进行。

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【科学方法】控制变量

控制变量的方法是指在研究和解决问题的过程中，对影响事物变化规律的独立因素加以人为控制，使其中只有一个因素按照特定的要求发生变化，而其他因素保持不变，以利于寻找事物发展变化的规律的方法。例如，在研究某个物理量 $y$ 与另外两个变量 $x_1$、$x_2$ 的关系时，先固定一个变量 $x_2$ 不变，研究 $y$ 与另一个变量 $x_1$ 之间的定量关系；然后再固定变量 $x_1$ 不变，研究 $y$ 与 $x_2$ 之间的关系。

本节在探究加速度与力、质量之间的关系时，就采用了控制变量的方法。以后在研究涉及多个变量的规律时，还会用到控制变量的方法，它是科学研究中常用的一种方法。

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4.3 牛顿第二定律

【问题】
赛车质量小、动力大，容易在短时间内获得较大的速度，也就是说，赛车的加速度大。物体的加速度 $a$ 与它所受的作用力 $F$ 以及自身的质量 $m$ 之间存在什么样的定量关系呢？通过上节的探究实验，你找到了吗？

牛顿第二定律的表达式

上节课的实验结果表明，小车的加速度 $a$ 与它所受的作用力 $F$ 成正比，与它的质量 $m$ 成反比。那么，对于任何物体都是这样的吗？^[12]

如果我们多做几次类似的实验，每次实验的点都可以拟合成直线，而这些直线与坐标轴的交点又都十分接近原点，那么，实际规律很可能就是这样的。

甲 猜想中的 $a-F$ 图像，乙 根据实际数据作出的 $a-F$ 图像

到此为止，我们的结论仍然带有猜想和推断的性质。只有根据这些结论推导出的很多新结果都与事实一致时，这样的结论才能成为“定律”。

由此看来，科学前辈们在根据有限的实验事实宣布某个定律时，既需要谨慎，也需要勇气。

大量的实验和观察到的事实都可以得出与上节课实验同样的结论，由此可以总结出一般性的规律：物体加速度的大小跟它受到的作用力成正比，跟它的质量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同。这就是牛顿第二定律（Newton’s second law）。^[13]

牛顿第二定律可表述为

$$a\propto \frac{F}{m}$$

也可以写成等式

$$F=kma$$

其中 $k$ 是比例系数。

牛顿第二定律不仅阐述了力、质量和加速度三者数量间的关系，还明确了加速度的方向与力的方向一致。

【思考与讨论】
取质量的单位是千克（$\text{kg}$），加速度的单位是米每二次方秒（${\text{m/s}}^2$），根据上述牛顿第二定律中加速度与力、质量的关系，我们应该怎样确定力的单位？

力的单位

$F=kma$ 中 $k$ 的数值取决于 $F$、$m$、$a$ 的单位的选取。

当 $k=1$ 时，质量为 $1\text{ kg}$ 的物体在某力的作用下获得 $1{\text{ m/s}}^2$ 的加速度，则这个力

$$F=ma=1\text{ kg}\cdot {\text{m/s}}^2$$

如果我们把这个力叫作“一个单位”的力的话，力 $F$ 的单位就是千克米每二次方秒。后人为了纪念牛顿，把它称作“牛顿”，用符号 $\text{N}$ 表示。^[14]

在质量的单位取千克（$\text{kg}$），加速度的单位取米每二次方秒（${\text{m/s}}^2$），力的单位取牛顿（$\text{N}$）时，牛顿第二定律可以表述为

$$F=ma$$

有了牛顿第二定律，我们就能够更进一步理解：描述物体惯性的物理量是质量的含义，即在确定的作用力下，决定物体运动状态变化难易程度的因素是物体的质量。

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【例题 1】

在平直路面上，质量为 $1100\text{ kg}$ 的汽车在进行研发的测试，当速度达到 $100\text{ km/h}$ 时取消动力，经过 $70\text{ s}$ 停了下来。汽车受到的阻力是多少？重新起步加速时牵引力为 $2000\text{ N}$，产生的加速度是多少？假定试车过程中汽车受到的阻力不变。

分析
，取消动力后，汽车在平直路面上只受阻力的作用。由于阻力不变，根据牛顿第二定律，汽车在平直路面上运动的加速度将保持不变。由加速度可以求出汽车受到的阻力。
，重新起步后，汽车在平直路面上受到牵引力和阻力。由于二者大小都不变，所以汽车的加速度恒定不变。根据牛顿第二定律可以求出汽车运动的加速度。

解
以汽车为研究对象。设汽车运动方向为 $x$ 轴正方向，建立一维坐标系。取消动力后，汽车做匀减速直线运动。初速度 $v_0=100\text{ km/h}=27.8\text{ m/s}$，末速度为 0，滑行时间 $t=70\text{ s}$。
根据匀变速直线运动速度与时间的关系式，加速度为

$$a_1=\frac{0-v_0}{t}=-\frac{v_0}{t}$$

汽车受到的阻力为

$$F_{\text{阻}}=m{a}_1=-\frac{m{v}_0}{t}=-\frac{1100\text{ kg}\times 27.8\text{ m/s}}{70\text{ s}}=-437\text{ N}$$

汽车受到的阻力是 $437\text{ N}$，方向与运动方向相反。

重新起步后，汽车所受的合力为

$$F_{\text{合}}=2000\text{ N}-437\text{ N}=1563\text{ N}$$

由牛顿第二定律可以得到汽车的加速度

$$a_2=\frac{F_{\text{合}}}{m}=\frac{1563\text{ N}}{1100\text{ kg}}=1.42{\text{ m/s}}^2$$

重新起步产生的加速度是 $1.42{\text{ m/s}}^2$，方向与运动方向相同。

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【例题 2】

某同学在列车车厢的顶部用细线悬挂一个小球，在列车以某一加速度渐渐启动的过程中，细线就会偏过一定角度并相对车厢保持静止，通过测定偏角的大小就能确定列车的加速度。在某次测定中，悬线与竖直方向的夹角为 $\theta$，求列车的加速度。

分析
列车在加速行驶的过程中，小球始终与列车保持相对静止状态，所以，小球的加速度与列车的加速度相同。
对小球进行受力分析，根据力的合成法则求解合力。再根据牛顿第二定律，求出小球的加速度，从而获得列车的加速度。

解
方法 1 选择小球为研究对象。设小球的质量为 $m$，小球在竖直平面内受到重力 $G$、绳的拉力 $F_{\text{T}}$。在这两个力的作用下，小球产生水平方向的加速度 $a$。这表明，$F_{\text{T}}$ 与 $G$ 的合力方向水平向右，且

$$F=G\tan \theta =mg\tan \theta$$

根据牛顿第二定律，小球具有的加速度为

$$a=\frac{F}{m}=g\tan \theta$$

方法 2 小球在水平方向上做匀加速直线运动，在竖直方向上处于平衡状态。建立所示的直角坐标系。将小球所受的拉力 $F_{\text{T}}$ 分解为水平方向的 $F_x$ 和竖直方向的 $F_y$。

在竖直方向有

$$F_y-mg=0,F_y=F_{\text{T}}\cos \theta$$$$F_{\text{T}}\cos \theta =mg(1)$$

在水平方向有

$$F_x=F_{\text{T}}\sin \theta$$$$F_{\text{T}}\sin \theta =ma(2)$$

(1) (2) 式联立，可以求得小球的加速度为

$$a=g\tan \theta$$

列车的加速度与小球相同，大小为 $g\tan \theta$，方向水平向右。

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4.4 力学单位制

【问题】
计量一头大象的质量时常用吨（$\text{t}$）做单位，但在计量人的质量时却用千克（$\text{kg}$）做单位。自由落体加速度 $g$ 的单位是米每二次方秒（${\text{m/s}}^2$），在初中学习时，$g$ 的单位曾用牛顿每千克（$\text{N/kg}$）。这些单位的使用有什么规则吗？

基本单位

由位移和时间求速度时，所用的关系式为

$$v=\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }t}$$

如果位移的单位用米（$\text{m}$），时间的单位用秒（$\text{s}$），得出的速度单位就是米每秒（$\text{m/s}$）。

已知速度的变化量和发生这个变化所用的时间，要求加速度时，所用的关系式为

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$$

如果速度的单位用米每秒（$\text{m/s}$），时间的单位用秒（$\text{s}$），得出的加速度的单位就是米每二次方秒（${\text{m/s}}^2$）。

由此可见，物理学的关系式在确定了物理量之间的关系时，也确定了物理量的单位之间的关系。

在物理学中，只要选定几个物理量的单位，就能够利用物理量之间的关系推导出其他物理量的单位。这些被选定的物理量叫作基本量，它们相应的单位叫作基本单位。[^15]

在上面的例子中，长度、时间就是基本量，它们的单位（米、秒）就是基本单位。由基本量根据物理关系推导出来的其他物理量叫作导出量，推导出来的相应单位叫作导出单位，例如速度、加速度的单位。

基本单位和导出单位一起就组成了一个单位制（system的units）。

国际单位制

如果采用不同的物理量作为基本量，或者虽然采用相同的基本量，但采用的基本单位不同，导出单位自然随之不同，从而产生不同的单位制。不同的地区使用不同的单位制，不方便交流。1960 年第 11 届国际计量大会制订了一种国际通用的、包括一切计量领域的单位制，叫作国际单位制（Le Système International d′Unités，法文），简称 SI。

在力学范围内，规定长度、质量、时间为三个基本量，对热学、电磁学、光学等学科，除了上述三个基本量和相应的基本单位外，还要加上另外四个基本量和它们的基本单位，才能导出其他物理量的单位。

表 国际单位制的基本单位

物理量名称	物理量符号	单位名称	单位符号
长度	$l$	米	$\text{m}$
质量	$m$	千克（公斤）	$\text{kg}$
时间	$t$	秒	$\text{s}$
电流	$I$	安［培］[^16]	$\text{A}$
热力学温度	$T$	开［尔文］	$\text{K}$
物质的量	$n$, ($\nu$)	摩［尔］	$\text{mol}$
发光强度	$I$, ($I_{\text{v}}$)	坎［德拉］	$\text{cd}$

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【例题】

光滑水平桌面上有一个静止的物体，质量是 $700\text{ g}$，在 $1.4\text{ N}$ 的水平恒力作用下开始运动。那么，$5\text{ s}$ 末物体的速度是多少？$5\text{ s}$ 内它的位移是多少？

分析
由于物体在竖直方向上所受的重力与桌面的支持力平衡，水平方向上的作用力为恒力，所以物体沿水平方向做初速度为 0 的匀加速直线运动。
由牛顿第二定律求出物体的加速度，再根据匀变速直线运动的速度与时间的关系式、位移与时间的关系式，就可以求出速度和位移。
在国际单位制中运用牛顿第二定律 $F=ma$ 时，质量的单位必须用千克（$\text{kg}$），所以需要对质量的单位进行换算。

解
以静止的物体为研究对象。物体的质量 $m=700\text{ g}=0.7\text{ kg}$。
根据牛顿第二定律，有

$$a=\frac{F}{m}=\frac{1.4\text{ N}}{0.7\text{ kg}}=2\text{ N/kg}=2{\text{ m/s}}^2$$

初速度 $v_0=0$，根据匀加速直线运动的速度与时间的关系式，有

$$v=at=2{\text{ m/s}}^2\times 5\text{ s}=10\text{ m/s}$$

根据匀变速直线运动的位移与时间的关系式，有

$$x=\frac{1}{2}a{t}^2=\frac{1}{2}\times 2{\text{ m/s}}^2\times 25{\text{ s}}^2=25\text{ m}$$

$5\text{ s}$ 末物体的速度是 $10\text{ m/s}$，方向与恒力的方向相同；$5\text{ s}$ 内它的位移是 $25\text{ m}$，方向与运动方向相同。

我们看到，题中的已知量的单位都用国际单位制表示时，计算的结果也是用国际单位制表示订。既然如此，在统一已知量的单位后，计算过程中就不必写出各量后面的单位，只在数字计算式后面写出正确的单位就可以了。这样，上面的计算过程就可以写成

$$a=\frac{F}{m}=\frac{1.4}{0.7}{\text{ m/s}}^2=2{\text{ m/s}}^2$$$$v=at=2\times 5\text{ m/s}=10\text{ m/s}$$$$x=\frac{1}{2}a{t}^2=\frac{1}{2}\times 2\times 25\text{ m}=25\text{ m}$$

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【思考与讨论】

小刚在课余制作中需要计算圆锥的体积，他从一本书中查得圆锥体积的计算公式为 $V=\frac{1}{3}\pi R^{3}h$。小红说，从单位关系上看，这个公式肯定是错误的。她的根据是什么？

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【拓展学习】基本单位的定义

秒的定义
铯-133 原子基态的两个超精细能级之间跃迁所对应的辐射的 $9192631770$ 个周期的持续时间为 $1\text{ s}$。现在测量时间的最精准仪器是原子钟。为某原子钟的照片。

米的定义
米是光在真空中 $\frac{1}{299792458}\text{ s}$ 时间间隔内所经路径的长度。以上米的定义是 1983 年国际计量大会上批准的。

千克的定义
国际千克原器的质量为 $1\text{ kg}$。
国际千克原器是 1889 年第 1 届国际计量大会批准制造的，它是一个用铂铱合金制成的圆柱体，高度和直径均为 $39\text{ mm}$。原型保存在巴黎国际计量局。
2018 年 11 月 16 日，第 26 届国际计量大会决定，千克由普朗克常量 $h$ 及米和秒定义。即

$$1\text{ kg}=\frac{h}{6.62607015\times {10}^{-34}{\text{ m}}^2\cdot {\text{s}}^{-1}}$$

该决定已于 2019 年 5 月 20 日起生效。此次标准实施后，SI 单位中的 7 个基本单位将全部建立在不变的自然常数基础上，保证了 SI 单位的长期稳定性和通用性。

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4.5 牛顿运动定律的应用

【问题】
为了尽量缩短停车时间，旅客按照站台上标注的车门位置候车。列车进站时总能准确地停靠在对应车门的位置。这是如何做到的呢？

牛顿第二定律确定了运动和力的关系，使我们能够把物体的运动情况与受力情况联系起来。因此，它在许多基础科学和工程技术中都有广泛的应用。中学物理中我们只研究一些简单的实例。

从受力确定运动情况

如果已知物体的受力情况，可以由牛顿第二定律求出物体的加速度，再通过运动学的规律确定物体的运动情况。

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【例题 1】

运动员把冰壶沿水平冰面投出，让冰壶在冰面上自由滑行，在不与其他冰壶碰撞的情况下，最终停在远处的某个位置。按比赛规则，投掷冰壶运动员的队友，可以用毛刷在冰壶滑行前方来回摩擦冰面，减小冰面的动摩擦因数以调节冰壶的运动。

（1）运动员以 $3.4\text{ m/s}$ 的速度投掷冰壶，若冰壶和冰面的动摩擦因数为 $0.02$，冰壶能在冰面上滑行多远？$g$ 取 $10{\text{ m/s}}^2$。
（2）若运动员仍以 $3.4\text{ m/s}$ 的速度将冰壶投出，其队友在冰壶自由滑行 $10\text{ m}$ 后开始在其滑行前方摩擦冰面，冰壶和冰面的动摩擦因数变为原来的 $90\mathrm{\%}$，冰壶多滑行了多少距离？

分析
（1）对物体进行受力分析后，根据牛顿第二定律可以求得冰壶滑行时的加速度，再结合冰壶做匀减速直线运动的规律求得冰壶滑行的距离。
（2）冰壶在滑行 $10\text{ m}$ 后进入冰刷摩擦后的冰面，动摩擦因数变化了，所受的摩擦力发生了变化，加速度也会变化。前一段滑行 $10\text{ m}$ 的末速度等于后一段运动的初速度。根据牛顿第二定律求出后一段运动的加速度，并通过运动学规律求出冰壶在后一段过程的滑行距离，就能求得比第一次多滑行的距离。

解
（1）选择滑行的冰壶为研究对象。冰壶所受的合力等于滑动摩擦力 $F_f$。设冰壶的质量为 $m$，以冰壶运动方向为正方向建立一维坐标系，滑动摩擦力 $F_f$ 的方向与运动方向相反，则

$$F_f=-{\mu }_1{F}_{\text{N}}=-{\mu }_{1}mg$$

根据牛顿第二定律，冰壶的加速度为

$$a_1=\frac{F_f}{m}=-\frac{{\mu }_{1}mg}{m}=-{\mu }_{1}g=-0.02\times 10{\text{ m/s}}^2=-0.2{\text{ m/s}}^2$$

加速度为负值，方向跟 $x$ 轴正方向相反。

将 $v_0=3.4\text{ m/s}$，$v=0$ 代入 $v^2-v_0^2=2a_1{x}_1$，得冰壶的滑行距离为

$$x_1=-\frac{v_0^2}{2a_1}=-\frac{(3.4\text{ m/s}{)}^2}{2\times (-0.2{\text{ m/s}}^2)}=28.9\text{ m}$$

冰壶滑行了 $28.9\text{ m}$。

（2）设冰壶滑行 $10\text{ m}$ 后的速度为 $v_{10}$，则对冰壶的前一段运动有

$$v_{10}^2=v_0^2+2a_1{x}_{10}$$

冰壶后一段运动的加速度为

$$a_2=-{\mu }_{2}g=-0.02\times 0.9\times 10{\text{ m/s}}^2=-0.18{\text{ m/s}}^2$$

滑行 $10\text{ m}$ 后为匀减速直线运动，由 $v^2 - v_{10}^2 = 2a_2 x_2

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1. 原书注：阿西莫夫（Isaac Asimov，1920—1992），美国科幻、科普作家，曾获科幻界最高荣誉的雨果奖和星云终身成就“大师奖”。 ↩︎

2. 旁注：无论是亚里士多德，还是伽利略和笛卡儿，都没有提出力的概念。牛顿的高明之处在于，他将物体间复杂多样的相互作用抽象为“力”。本书为了表述方便，在陈述亚里士多德等人的思想时，借用了力的概念。 ↩︎

3. 旁注：伽利略理想实验的本质是想象着把实际中存在、影响物体运动的摩擦力去掉，抓住事物的本质。这种依据逻辑推理把实际实验理想化的思想也是研究物理问题的重要方法之一。 ↩︎

4. 原书注：牛顿在 1687 年出版的《自然哲学的数学原理》中提出了三条运动定律，它们是整个动力学的核心。 ↩︎

5. 旁注：如果一个物体由静止变为运动或由运动变为静止，我们说它的运动状态发生了改变。 ↩︎

6. 旁注：如果一个物体的速度大小或方向改变了，我们也说它的运动状态发生了改变。 ↩︎

7. 旁注：在初中，我们把质量理解为物体所含物质的多少；现在，又从物体惯性的角度认识质量。我们对于科学概念的认识就是这样一步一步深入的。 ↩︎

8. 旁注：可证明这两个力只是近似相等，条件是槽码的质量要比小车的质量小很多。 ↩︎

9. 旁注：从实验的角度，同时研究某个物理量与另外两个或多个物理量之间的定量关系是非常困难的。面对这样的问题，我们通常采用控制变量的方法进行研究。 ↩︎

10. 旁注：在此实验中，通过测力计用手直接给小车施加一个恒力是否可行？ ↩︎

11. 旁注：这里我们已经假设加速度与质量成反比；如果当初假设加速度与质量的二次方成反比，最好作哪两个量之间关系的图像？ ↩︎

12. 旁注：科学研究人员做实验时，都要对偏差作出定量的分析，以确认这些偏差与实验规律的关系。这样，下结论时的把握就大多了。 ↩︎

13. 旁注：实际物体所受的力往往不止一个，式中 $F$ 指的是物体所受的合力。 ↩︎

14. 旁注：我们在初中已经学过，在国际单位制中，力的单位是牛顿（$\text{N}$）。但是当时并不知道“牛顿”这个单位是怎样定义的。学过牛顿第二定律之后，这个问题就清楚了。 ↩︎