第十一章 电路及其应用

人类通过对静电场的研究不仅获得了许多关于电现象的知识，而且形成了若干重要的电学概念和研究方法，成为电学理论的重要基础。

但是，无论在自然界还是在生产和生活领域，更广泛存在着的是电荷流动所引起的效应。那么，电荷为什么会流动？电荷流动服从什么规律？产生哪些效应？这些效应对人类的生产、生活方式和社会进步又起着怎样的作用呢？

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11.1 电源和电流

电学已经改变了我们的生活方式，并且产生了一个巨大的工程应用领域。 ——塞格雷 ^[1]

【问题】 电闪雷鸣时，强大的电流使天空不时发出耀眼的闪光，但它只能存在于一瞬间，而手电筒中的小灯泡却能持续发光，这是为什么？

电源

有 A、B 两个导体，分别带正、负电荷。它们的周围存在着电场。如果在它们之间连接一条导线 H（图 11.1-1），导线 H 中的自由电子在静电力的作用下沿导线做定向运动，形成电流。由于 B 失去电子，A 得到电子，A、B 之间的电势差很快消失，两导体成为一个等势体，达到静电平衡。这种情况下，导线 H 中的电流只是瞬间的。

自由电子的定向运动使两个带电体成为等势体，自由电子不能持续定向流动。如何才能使导线 H 中存在持续的电流呢？

倘若在 A、B 之间连接一个装置 P（图 11.1-2），它能在 B 失去电子的过程中，不断地从 A 取走电子，补充给 B，使 A、B 始终带一定数量的正、负电荷。这样，A、B 之间始终存在电势差，H 内就会存在持续的电流。能把电子从 A 搬运到 B 的装置 P 就是电源（power source），A 和 B 是电源的两个电极。^[2]

手电筒中的小灯泡能持续发光，是因为电路中有电源，使得电路中的电流能够持续存在。

恒定电流

详尽的分析表明，A、B 周围空间的电场是由电源、导线等电路元件所积累的电荷共同形成的。尽管这些电荷也在运动，但有的流走了，另外的又来补充，电荷的分布是稳定的，不随时间变化，电场的分布也不会随时间变化。这种由稳定分布的电荷所产生的稳定的电场，叫作恒定电场（steady electric field）。

在恒定电场的作用下，导体中的自由电荷做定向运动，在运动过程中与导体内不动的粒子不断碰撞，碰撞阻碍了自由电荷的定向运动，结果是大量自由电荷定向运动的平均速率不随时间变化。

如果我们在这个电路中串联一个电流表，电流表的示数将保持恒定。我们把大小、方向都不随时间变化的电流叫作恒定电流（steady current）。这一章我们研究恒定电流。^[3]

电流的强弱程度用电流（electric current）这个物理量表示。单位时间内通过导体横截面的电荷量越多，电流就越大。如果用 $I$ 表示电流、$q$ 表示在时间 $t$ 内通过导体横截面的电荷量，则有

$$I=\frac{q}{t}$$

在国际单位制中，电流的单位是安培（ampere），简称安，符号是 $\text{A}$。从上述公式可知

$$1\text{C}=1\text{A}\cdot \text{s}$$

常用的电流单位还有毫安（$\text{mA}$）和微安（$\mu \text{A}$），它们与安培的关系是

$$1\text{mA}={10}^{-3}\text{A}$$$$1\mu \text{A}={10}^{-6}\text{A}$$

拓展学习：电流的微观解释

通常情况下，金属中的自由电子不断地做无规则的热运动，它们朝任何方向运动的机会都一样。从宏观上看，没有电荷（自由电子）的定向移动，因而也没有电流。如果导体两端有电势差，在导体内部就建立了电场，导体中的自由电子就要受到静电力的作用。这样，自由电子在导体中除了做无规则的热运动外，还要在静电力的作用下定向移动，从而形成电流。

金属导体中的电流跟自由电子的定向移动速率有关，它们之间的关系可用下述方法简单推导出来。

如图 11.1-3，设导体的横截面积为 $S$，自由电子数密度（单位体积内的自由电子数）为 $n$，自由电子定向移动的平均速率为 $v$，则时间 $t$ 内通过某一横截面的自由电子数为 $nSvt$。由于电子电荷量为 $e$，因此，时间 $t$ 内通过横截面的电荷量 $q=neSvt$。根据电流的公式 $I=\frac{q}{t}$，就可以得到电流和自由电子定向移动平均速率的关系

$$I=neSv$$

通常情况下，自由电子无规则热运动的速率约为 ${10}^5\text{m/s}$。导体两端加上电压，自由电子定向移动的平均速率约为 ${10}^{-4}\text{m/s}$。按这个定向移动平均速率计算，一个电子通过一条 $1\text{m}$ 长的导体需要几个小时！这与我们平时开关电灯时的感觉似乎不符。实际上，闭合开关的瞬间，电路中的各个位置以光速迅速建立了电场。随着电场的建立，电路中各处的自由电子在静电力的作用下几乎同时开始做定向移动，整个电路也就几乎同时形成了电流。

STSE：电动汽车中的电池

电动汽车中的电池通常采用锂离子电池。充电时，锂离子通过电解液运动到负极，嵌入碳材料微孔中；放电时，锂离子返回正极释放电荷，为汽车提供电能。

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11.2 导体的电阻

【问题】 为了减小输电线上电能的损耗，人们尽量把输电线做得粗一点，这是因为导体的电阻与导体的长度、横截面积有关。

那么，它们之间的定量关系是怎样的呢？

电阻

选取一个导体，研究导体两端的电压随导体中的电流的变化情况。

图 11.2-1 是根据某次实验结果作出的金属导体 A、B 的 $U-I$ 图像。从图中可以看出，同一个金属导体的 $U-I$ 图像是一条过原点的直线。同一个导体，不管电流、电压怎样变化，电压跟电流之比都是一个常量，这个结论可以写成

$$R=\frac{U}{I}$$

$R$ 是一个只跟导体本身性质有关而与通过的电流无关的物理量。图中不同导体 $U-I$ 图像的倾斜程度不同，表明不同导体的 $R$ 值不同。^[4]

从上式可以看出，在电压 $U$ 相同时，$R$ 越大，导体中的电流 $I$ 越小。看来 $R$ 的值反映了导体对电流的阻碍作用，所以，物理学中就把它叫作导体的电阻（resistance）。

影响导体电阻的因素

导体的电阻到底与导体的哪些因素有关呢？我们可以通过实验来研究导体的电阻与导体的长度、横截面积、材料之间的关系。

【实验】研究导体电阻与长度、横截面积及材料的定量关系 利用控制变量法研究金属导体 a、b、c、d。图中四段导体串联，各段两端电压之比反映其电阻之比。得出电阻与导体长度、横截面积及材料的比例关系。

通过上述实验发现：同种材料的导体，其电阻 $R$ 与它的长度 $l$ 成正比，与它的横截面积 $S$ 成反比；导体电阻还与构成它的材料有关。写成公式则是

$$R=\rho \frac{l}{S}$$

进一步实验会发现，同种材料的导体，式中的 $\rho$ 是不变的，不同种材料的导体 $\rho$ 一般不同。这说明 $\rho$ 表征了导体材料的某种特性。

从上述关系式可以看出，在长度、横截面积一定的条件下，$\rho$ 越大，导体的电阻越大。$\rho$ 叫作这种材料的电阻率（resistivity）。^[5]

【演示】电阻率与温度的关系 如图 11.2-3，将灯泡的灯丝与小灯泡串联接入电路，使小灯泡发光。用酒精灯给灯丝加热，发现小灯泡变暗。这说明温度升高，灯丝的电阻率变大了。

金属的电阻率随温度的升高而增大。利用这一规律制成了电阻温度计（如铂电阻温度计）。

当温度降低时，导体的电阻率将会减小。在温度特别低时，某些金属的电阻可以降到 0，这种现象叫作超导现象。

拓展学习：伏安特性曲线

在实际应用中，常用横坐标表示电压 $U$，纵坐标表示电流 $I$，这样画出的 $I-U$ 图像叫作导体的伏安特性曲线。对于金属导体，在温度没有显著变化时，电阻几乎是不变的（不随电流、电压改变），它的伏安特性曲线是一条过原点的直线，也就是电流 $I$ 与电压 $U$ 成正比（图 11.2-4）。具有这种伏安特性曲线的电学元件叫作线性元件。

实验表明，除金属外，欧姆定律对电解质溶液也适用，但对气态导体（如日光灯管、霓虹灯管中的气体）和半导体元件（图 11.2-5）并不适用。也就是说，在这些情况下电流与电压不成正比，这类电学元件叫作非线性元件。

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11.3 实验：导体电阻率的测量

电阻率是反映材料导电性能的物理量，这一节我们来测量导体的电阻率。如果根据导体的电阻、长度和截面积来求出电阻率，就需要测量电阻和长度等。下面我们分别来进行相关的实验。

实验 1：长度的测量及测量工具的选用

长度是物理学中基本的物理量，长度的测量是最基本的测量。常用的测量工具是刻度尺。现在我们进一步学习使用另外两种测量精度更高的工具。根据测量要求的不同，可以选用不同的测量工具。

游标卡尺

图 11.3-1 是游标卡尺的结构图。游标卡尺的主要部分是主尺 A 和一条可以沿着主尺滑动的游标尺 B。

• 原理：游标卡尺是利用主尺的单位刻度（$1\text{mm}$）与游标尺的单位刻度之间固定的微量差值来提高测量精度的。常用的游标卡尺有 10 分度、20 分度和 50 分度三种。 以 10 分度游标卡尺为例（图 11.3-2），游标尺上有 10 个小的等分刻度，总长 $9\text{mm}$，每一分度为 $0.9\text{mm}$，与主尺上的最小分度相差 $0.1\text{mm}$。当量爪间所测量物体的长度为 $0.1\text{mm}$ 时，游标尺向右应移动 $0.1\text{mm}$，这时它的第一条刻度线恰好与主尺的 $1\text{mm}$ 刻度线对齐……这样就将主尺读数需要估读的问题转化为比较主尺上的刻度线与游标尺上的哪条刻度线对齐的问题，提高了测量的精度。 如 20 分度卡尺的游标尺零刻度线之后共有 20 条刻度线，其单位刻度与 $1\text{mm}$ 的差值为 $0.05\text{mm}$；50 分度卡尺的单位刻度与 $1\text{mm}$ 的差值仅为 $0.02\text{mm}$。
• 读数：读数时，先读主尺上的刻度。根据游标尺上零刻度线与主尺刻度线的相对位置可知主尺读数；再读游标尺上的刻度（图 11.3-3 游标尺上的第七条刻度线与主尺上的刻度线对齐，读数为 $0.7\text{mm}$）；结合主尺及游标尺的读数得到被测长度。
• 使用：将被测物体夹（套）在测量爪之间，把主尺读数和游标尺读数综合起来，就是被测物体的长度。

螺旋测微器

图 11.3-4 是螺旋测微器的结构图。螺旋测微器的测砧 A 和固定刻度 B 是固定在尺架 C 上的；可动刻度 E、旋钮 D、微调旋钮 D' 是与测微螺杆 F 连在一起的，通过精密螺纹套在 B 上。

• 原理：当旋钮 D 旋转一周，螺杆 F 便沿着旋转轴线方向前进或后退一个螺距。螺旋测微器的固定刻度 B 的螺距是 $0.5\text{mm}$，圆周上的可动刻度 E 有 50 个等分刻度，因此可动刻度每旋转一格，对应测微螺杆 F 前进或后退$$\frac{0.5}{50}\text{mm}=0.01\text{mm}$$显然，用螺旋测微器测量可准确到 $0.01\text{mm}$。
• 读数：读数时，先读固定刻度 B 上的刻度，观察到半毫米刻度线已露出，则 B 上的读数为 $6.5\text{mm}$；再读 E 上的刻度，考虑到每一格对应 $0.01\text{mm}$，可知 E 上的读数为 $22.5\times 0.01\text{mm}=0.225\text{mm}$。综合 B 及 E 的读数得到被测长度为 $6.725\text{mm}$。
• 使用：使被测物体夹在 F 与 A 之间，旋转 D，当 F 快靠近物体时，停止使用 D，改用 D'，听到"喀喀"声时停止；然后读数。

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实验 2：金属丝电阻率的测量

• 实验思路：可以用图 11.3-7 的实验电路做此实验。取一段金属电阻丝连接到实验电路中，只要测出电阻丝的电阻 $R$、长度 $l$ 和直径 $d$（$S=\frac{\pi d^2}{4}$），就可以计算出该电阻丝所用材料的电阻率，即$$\rho =\frac{SR}{l}=\frac{\pi d^{2}R}{4l}$$
• 物理量的测量：
  • 电阻的测量：按实验电路图连接实物电路。改变滑动变阻器滑片的位置，读取多组电压、电流值，通过 $U-I$ 图像求得电阻 $R$。
  • 电阻丝有效长度的测量：电阻丝有效长度的测量工具应选用刻度尺。在测量电阻丝的长度时，测量的并不是电阻丝的总长度，而是接入电路的有效长度 $l$。反复测量多次求平均值。
  • 电阻丝直径的测量：因为电阻丝比较细，所以直接用刻度尺测量会产生较大误差。^[6]
    • 参考案例 1（累积法）：将电阻丝在圆柱形物体上紧密缠绕若干圈，测出总宽度再除以圈数。
    • 参考案例 2：在电阻丝的不同位置利用游标卡尺或螺旋测微器测量 3 次求平均值。

• 数据分析：将三个测量值代入公式计算电阻率，并与已知材料的电阻率进行对比，分析误差原因。

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11.4 串联电路和并联电路

【问题】 如果把两个电阻 $R_1$、$R_2$ 串联或并联后看成一个电阻，你认为这个电阻跟 $R_1$、$R_2$ 应该是怎样的关系？

串、并联电路中的电流

我们知道，恒定电流电路中各处电荷的分布是稳定的，任何位置的电荷都不可能越来越多或越来越少。在图 11.4-1 的串联电路中，既然电路中各处的电荷分布保持不变，相同时间内通过 0、1、2、3 各点的电荷量必然相等。因此，串联电路中的电流处处相等。

在图 11.4-2 的并联电路中，只有在相同时间内流过干路 0 点的电荷量等于进入各支路 1、2、3 各点的电荷量之和，才能保证电路各处的电荷量的分布保持不变。因此，并联电路的总电流等于各支路电流之和。

串、并联电路中的电压

在图 11.4-1 的串联电路中，如果以 ${\phi }_0$、${\phi }_1$、${\phi }_2$、${\phi }_3$ 分别表示电路中 0、1、2、3 各点的电势，以 $U_{01}$、$U_{12}$、$U_{23}$、$U_{03}$ 分别表示 0 与 1、1 与 2、2 与 3、0 与 3 之间的电势差（电压），那么，由电势差跟电势的关系可知

$$U_{01}={\phi }_0-{\phi }_1,U_{12}={\phi }_1-{\phi }_2,U_{23}={\phi }_2-{\phi }_3$$

因此

$$U_{01}+U_{12}+U_{23}={\phi }_0-{\phi }_3=U_{03}$$

即，串联电路两端的总电压等于各部分电路两端电压之和。

在图 11.4-2 的并联电路中，不考虑导线的电阻，0、1、2、3 各点之间没有电势差，它们具有相同的电势。同样，几个电阻右边的电势也相同。因此，并联电路的总电压与各支路电压相等。

串、并联电路中的电阻

两个电阻 $R_1$、$R_2$ 串联起来接到电路里，作为一个整体，它相当于一个电阻 $R$（图 11.4-3）。由于 $R_1$ 与 $R_2$ 是串联的，它们两端的总电压 $U$ 等于两个电阻两端电压 $U_1$、$U_2$ 之和，即

$$U=U_1+U_2$$

由 $R=\frac{U}{I}$，通过这两个电阻的电流 $I$ 相同，上式两边都除以电流 $I$，即

$$\frac{U}{I}=\frac{U_1}{I}+\frac{U_2}{I}$$

可得

$$R=R_1+R_2(1)$$

不难证明，如果 $n$ 个电阻串联，那么

$$R=R_1+R_2+\cdots +R_n$$

即，串联电路的总电阻等于各部分电路电阻之和。

如图 11.4-4，两个电阻 $R_1$、$R_2$ 并联接到电路里，作为一个整体，它相当于一个电阻 $R$，通过它们的总电流 $I$ 等于通过两个电阻的电流 $I_1$、$I_2$ 之和，即

$$I=I_1+I_2$$

由 $R=\frac{U}{I}$，两个电阻上的电压 $U$ 相同，上式两边都除以电压 $U$，得

$$\frac{I}{U}=\frac{I_1}{U}+\frac{I_2}{U}$$

可得

$$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}(2)$$

不难证明，如果 $n$ 个电阻并联，那么

$$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\cdots +\frac{1}{R_n}$$

即，并联电路总电阻的倒数等于各支路电阻的倒数之和。

电压表和电流表的电路结构

常用的电压表和电流表都是由小量程的电流表（表头）改装而成的。表头的工作原理涉及磁场对通电导线的作用。

从电路的角度看，表头就是一个电阻，同样遵从欧姆定律。表头与其他电阻的不同在于，通过表头的电流是可以从刻度盘上读出来的。

表头的电阻 $R_g$ 叫作电流表的内阻。指针偏转到最大刻度时的电流 $I_g$ 叫作满偏电流。表头通过满偏电流时，加在它两端的电压 $U_g$ 叫作满偏电压。由欧姆定律可知

$$U_g=I_g{R}_g$$

表头的满偏电压 $U_g$ 和满偏电流 $I_g$ 一般都比较小。

测量较大的电压时，要串联一个电阻 $R$，把表头改装成电压表（图 11.4-5）。换句话说，电压表可以看作一个电压可读的“大电阻”。串联电阻 $R$ 的作用是分担一部分电压，起这种作用的电阻常常被叫作分压电阻。

测量较大的电流时，则要并联一个电阻 $R$，把小量程的表头改装成大量程的电流表（图 11.4-6）。电流表可以看作一个电流可读的“小电阻”。并联电阻 $R$ 的作用是分去一部分电流，起这种作用的电阻常常被叫作分流电阻。

【例题】 一个表头的内阻 $R_g$ 为 $30\mathrm{\Omega }$，满偏电流 $I_g$ 为 $1\text{mA}$。要把它改装为量程 $0\sim 0.6\text{A}$ 的电流表，需要并联多大的电阻？改装后电流表的内阻是多少？

分析：电流表由表头和电阻 $R$ 并联组成，如图 11.4-6 的虚线框所示。电流表量程为 $0\sim 0.6\text{A}$，是指通过电流表的电流为 $0.6\text{A}$ 时，表头的指针指在最大刻度，即通过表头的电流等于 $I_g$。

解：通过电阻 $R$ 的电流

$$I_R=I-I_g=(0.6-1\times {10}^{-3})\text{A}=0.599\text{A}$$

由欧姆定律可以求出分流电阻

$$R=\frac{U_g}{I_R}=\frac{I_g{R}_g}{I_R}=\frac{1\times {10}^{-3}\times 30}{0.599}\mathrm{\Omega }\approx 5\times {10}^{-2}\mathrm{\Omega }$$

电流表内阻 $R_A$ 等于 $R_g$ 与 $R$ 的并联值，有

$$R_A=\frac{R_{g}R}{R_g+R}=\frac{30\times 5\times {10}^{-2}}{30+5\times {10}^{-2}}\mathrm{\Omega }\approx 5\times {10}^{-2}\mathrm{\Omega }$$

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1. 塞格雷（Emilio Gino Segrè，1905—1989），意大利裔美国物理学家，诺贝尔物理学奖获得者。 ↩︎

2. 旁注：电源的作用就是移送电荷，维持电源正、负极间有一定的电势差。 ↩︎

3. 旁注：习惯上，我们把正电荷定向移动的方向规定为电流的方向。 ↩︎

4. 旁注：$U-I$ 图像的斜率表示导体的电阻。 ↩︎

5. 旁注：电阻率是反映材料导电性能的物理量，通常取 $20{}^{\circ }\text{C}$ 时的数值。 ↩︎

6. 旁注：螺旋测微器测量精度可达 $0.01\text{mm}$，游标卡尺也可用于测量直径。 ↩︎