第六章教材习题

6.1 练习与应用

1. 地球可以看作一个半径为 $6.4\times {10}^3\text{ km}$ 的球体，北京的纬度约为北纬 ${40}^{\circ }$。位于赤道和位于北京的物体，随地球自转做匀速圆周运动的角速度各是多大？线速度各是多大？

2. 某个走时准确的时钟（图 6.1-5），分针与时针由转动轴到针尖的长度之比是 $1.4:1$。

   • （1）分针与时针的角速度之比是多少？
   • （2）分针针尖与时针针尖的线速度之比是多少？

3. 在图 6.1-6 中，A、B两点分别位于大、小轮的边缘上，C点位于大轮半径的中点，大轮的半径是小轮的 2 倍，它们之间靠摩擦传动，接触面上没有滑动。请在该装置的 A、B、C 三个点中选择有关的两个点，说明公式 $v=\omega r$ 的以下三种变量关系：

   • （1）$v$ 相等，$\omega$ 跟 $r$ 成反比。
   • （2）$\omega$ 相等，$v$ 跟 $r$ 成正比。
   • （3）$r$ 相等，$v$ 跟 $\omega$ 成正比。

4. 某计算机上的硬磁盘的磁道和扇区如图 6.1-7 所示。这块硬磁盘共有 9 216 个磁道（即 9 216 个不同半径的同心圆），每个磁道分成 8 192 个扇区（每扇区为 $\frac{1}{8192}$ 圆周），每个扇区可以记录 512 个字节。电动机使盘面以 $7200\text{ r/min}$ 的转速匀速转动。磁头在读、写数据时是不动的，盘面每转一圈，磁头沿半径方向跳动一个磁道。

   • （1）一个扇区通过磁头所用的时间是多少？
   • （2）不计磁头转移磁道的时间，计算机 1 s 内最多可以从一个盘面上读取多少个字节？

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6.2 练习与应用

1. 地球质量为 $6.0\times {10}^{24}\text{ kg}$，地球与太阳的距离为 $1.5\times {10}^{11}\text{ m}$。地球绕太阳的运动可以看作匀速圆周运动。太阳对地球的引力是多少？

2. 把一个小球放在玻璃漏斗中，晃动漏斗，可以使小球在短时间内沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动（图 6.2-7）。小球的向心力是由什么力提供的？

3. 如图 6.2-8 所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，角速度是 $4\text{ rad/s}$。盘面上距圆盘中心 $0.10\text{ m}$ 的位置有一个质量为 $0.10\text{ kg}$ 的小物体在随圆盘一起做匀速圆周运动。

   • （1）求小物体所受向心力的大小。
   • （2）关于小物体所受的向心力，甲、乙两人有不同意见：甲认为该向心力等于圆盘对小物体的静摩擦力，指向圆心；乙认为小物体有向前运动的趋势，静摩擦力方向和相对运动趋势方向相反，即向后，而不是和运动方向垂直，因此向心力不可能由静摩擦力提供。你的意见是什么？说明理由。

4. 如图 6.2-9 所示，细绳的一端固定于 O 点，另一端系一个小球，在 O 点的正下方钉一个钉子 A，小球从一定高度摆下。经验告诉我们，当细绳与钉子相碰时，钉子的位置越靠近小球，绳就越容易断。请解释这一现象。

5. 一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由 M 向 N 行驶，速度逐渐减小。图 6.2-10 甲、乙、丙、丁分别画出了汽车转弯时所受合力 $F$ 的四种方向，你认为哪种是正确的？为什么？

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6.3 练习与应用

1. 甲、乙两物体都在做匀速圆周运动，关于以下四种情况各举一个实际的例子。在这四种情况下，哪个物体的向心加速度比较大？

   • A. 它们的线速度大小相等，乙的半径小
   • B. 它们的周期相等，甲的半径大
   • C. 它们的角速度相等，乙的线速度小
   • D. 它们的线速度大小相等，在相同时间内甲与圆心的连线扫过的角度比乙的大

2. 月球绕地球公转的轨道接近圆，半径为 $3.84\times {10}^5\text{ km}$，公转周期是 $27.3\text{ d}$。月球绕地球公转的向心加速度是多大？

3. 一部机器与电动机通过皮带连接，机器皮带轮的半径是电动机皮带轮半径的 3 倍（图 6.3-5），皮带与两轮之间不发生滑动。已知机器皮带轮边缘上一点的向心加速度为 $0.10{\text{ m/s}}^2$。

   • （1）电动机皮带轮与机器皮带轮的转速之比 $n_1:n_2$ 是多少？
   • （2）机器皮带轮上 A 点到转轴的距离为轮半径的一半，A 点的向心加速度是多少？
   • （3）电动机皮带轮边缘上某点的向心加速度是多少？

4. A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同的时间内，它们通过的路程之比是 $4:3$，运动方向改变的角度之比是 $3:2$，它们的向心加速度之比是多少？

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6.4 练习与应用

1. 如果高速转动的飞轮的重心不在转轴上，运行将不稳定，而且轴承会受到很大的作用力，加速磨损。图 6.4-10 中飞轮半径 $r=20\text{ cm}$，$O{O}^{\prime }$ 为转动轴。正常工作时转动轴受到的水平作用力可以认为是 0。假想在飞轮的边缘固定一个质量 $m=0.01\text{ kg}$ 的小螺丝钉 P，当飞轮转速 $n=1000\text{ r/s}$ 时，转动轴 $O{O}^{\prime }$ 受到多大的力？

2. 有一种叫“飞椅”的游乐项目（图 6.4-11）。长为 $L$ 的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为 $r$ 的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘以角速度 $\omega$ 匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为 $\theta$。不计钢绳的重力。分析转盘转动的角速度 $\omega$ 与夹角 $\theta$ 的关系。

3. 质量为 $2.0\times {10}^3\text{ kg}$ 的汽车在水平公路上行驶，轮胎与路面间的最大静摩擦力为 $1.4\times {10}^4\text{ N}$。汽车经过半径为 $50\text{ m}$ 的弯路时，如果车速达到 $72\text{ km/h}$，这辆车会不会发生侧滑？

4. 有一辆质量为 $800\text{ kg}$ 的小汽车驶上圆弧半径为 $50\text{ m}$ 的拱桥，不考虑空气阻力，$g$ 取 $10{\text{ m/s}}^2$。

   • （1）汽车到达桥顶时速度为 $5\text{ m/s}$，汽车对桥的压力是多大？
   • （2）汽车以多大速度经过桥顶时恰好腾空，对桥没有压力？
   • （3）汽车对地面的压力过小是不安全的。从这个角度讲，汽车过桥时的速度不能过大。对于同样的车速，拱桥圆弧的半径大些比较安全，还是小些比较安全？
   • （4）如果拱桥的半径增大到与地球半径 $R$ 一样，汽车要在桥面上腾空，速度要多大？

5. 质量为 $25\text{ kg}$ 的小孩坐在秋千上，小孩离系绳子的横梁 $2.5\text{ m}$。秋千摆到最低点时，如果小孩运动速度的大小是 $5\text{ m/s}$，他对秋千的压力是多大？

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第六章 复习与提高

A组

1. 请根据加速度的特点，对以下七种运动进行分类，并画出分类的树状结构图：匀速直线运动；匀变速直线运动；自由落体运动；抛体运动；平抛运动；匀速圆周运动；变速圆周运动。

2. 图 6-1 是一皮带传动装置的示意图，右轮半径为 $r$，$A$ 是它边缘上的一点。左侧是一轮轴，大轮半径为 $4r$，小轮半径为 $2r$。$B$ 点在小轮上，到小轮中心的距离为 $r$。$C$ 点和 $D$ 点分别位于小轮和大轮的边缘上。如果传动过程中皮带不打滑，那么 $A$、$B$、$C$、$D$ 点的线速度、角速度、向心加速度之比分别是多少？

3. 在空间站中，宇航员长期处于失重状态。为缓解这种状态带来的不适，科学家设想建造一种环形空间站，如图 6-2 所示。圆环绕中心匀速旋转，宇航员站在旋转舱内的侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。已知地球表面的重力加速度为 $g$，圆环的半径为 $r$，宇航员可视为质点。为达到目的，旋转舱绕其轴线匀速转动的角速度应为多大？

4. 如图 6-3 所示，长 $L$ 的轻杆两端分别固定着可以视为质点的小球 A、B，放置在光滑水平桌面上，杆中心 O 有一竖直方向的固定转动轴，A、B的质量分别为 $3m$、$m$。当轻杆以角速度 $\omega$ 绕轴在水平桌面上转动时，求转轴受杆拉力的大小。

5. 如图 6-4 所示，滚筒洗衣机脱水时，滚筒绕水平转动轴转动。滚筒上有很多漏水孔，滚筒转动时，附着在潮湿衣服上的水从漏水孔中被甩出，达到脱水的目的。如果认为湿衣服在竖直平面内做匀速圆周运动，那么，湿衣服上的水是在最低点还是最高点时更容易甩出？请说明道理。

6. 波轮洗衣机中的脱水筒（图 6-5）在脱水时，衣服紧贴在筒壁上做匀速圆周运动。某洗衣机的有关规格如下表所示。在运行脱水程序时，有一质量 $m=6\text{ g}$ 的硬币被甩到桶壁上，随桶壁一起做匀速圆周运动。求桶壁对它的静摩擦力和弹力的大小。在解答本题时可以选择表格中有用的数据。$g$ 取 $10{\text{ m/s}}^2$。

型号	××
额定电压、频率	~220 V、50 Hz
额定脱水功率	225 W
质量	31 kg
脱水转速	600 r/min
脱水筒尺寸	直径 300 mm，高 370 mm
外形尺寸	长 555 mm，宽 510 mm，高 870 mm

7. 如图 6-6 所示，半径为 $R$ 的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心 O 的对称轴 $O{O}^{\prime }$ 重合。转台以一定角速度匀速转动，一质量为 $m$ 的小物块落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时小物块受到的摩擦力恰好为 0，且它和 O 点的连线与 $O{O}^{\prime }$ 之间的夹角 $\theta$ 为 ${60}^{\circ }$，重力加速度为 $g$。求转台转动的角速度。

B组

1. 如图 6-7 所示，半径 $R=0.40\text{ m}$ 的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与水平地面相切于圆环的端点 A。一小球从 A 点冲上竖直半圆环，沿轨道运动到 B 点飞出，最后落在水平地面上的 C 点（图上未画），$g$ 取 $10{\text{ m/s}}^2$。

   • （1）能实现上述运动时，小球在 B 点的最小速度是多少？
   • （2）能实现上述运动时，A、C 间的最小距离是多少？

2. 如图 6-8 所示，做匀速圆周运动的质点在时间 $t$ 内由 A 点运动到 B 点，$\stackrel{⏜}{AB}$ 所对的圆心角为 $\theta$，$\stackrel{⏜}{AB}$ 长为 $l$。

   • （1）求质点向心加速度的大小。
   • （2）若某段时间内 $\theta ={60}^{\circ }$，根据矢量的运算法则，求这段时间内 $\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$ 与圆周运动的向心加速度的大小之比是多少？

3. 如图 6-9 所示，带有一白点的灰色圆盘，绕其中心且垂直于盘面的轴沿顺时针方向匀速转动，转速 $n=20\text{ r/s}$。在暗室中用每秒闪光 21 次的频闪光源照射圆盘，求观察到白点转动的方向和转动的周期。

4. 如图 6-10 所示，一长为 $l$ 的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为 $m$ 的小球，轻杆随转轴在竖直平面内做角速度为 $\omega$ 的匀速圆周运动，重力加速度为 $g$。

   • （1）小球运动到最高点时，求杆对球的作用力。
   • （2）小球运动到水平位置 A 时，求杆对球的作用力。

5. 如图 6-11 所示，质量为 $m$ 的小球用细线悬于 P 点，使小球在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为 $g$。

   • （1）若悬挂小球的绳长为 $l$，小球做匀速圆周运动的角速度为 $\omega$，绳对小球的拉力 $F$ 有多大？
   • （2）若保持轨迹圆的圆心 O 到悬点 P 的距离 $h$ 不变，改变绳长 $l$，求小球做匀速圆周运动的角速度 $\omega$ 与绳长 $l$ 的关系。
   • （3）若保持轨迹圆的圆心 O 到悬点 P 的距离 $h$ 不变，改变绳长 $l$，求绳对小球的拉力 $F$ 与绳长 $l$ 的关系。

6. 某人站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为 $m$ 的小球，使球在竖直平面内以手为圆心做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳恰好受到所能承受的最大拉力被拉断，球以绳断时的速度水平飞出，通过水平距离 $d$ 后落地。已知握绳的手离地面高度为 $d$，手与球之间的绳长为 $\frac{d}{4}$，重力加速度为 $g$，忽略空气阻力。

   • （1）绳能承受的最大拉力是多少？
   • （2）保持手的高度不变，改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时达到最大拉力被拉断，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离是多少？

7. 某场地自行车比赛圆形赛道的路面与水平面的夹角为 ${15}^{\circ }$，$\sin {15}^{\circ }=0.259$，$\cos {15}^{\circ }=0.966$，不考虑空气阻力，$g$ 取 $10{\text{ m/s}}^2$。

   • （1）运动员骑自行车在该赛道上做匀速圆周运动（图 6-12），圆周的半径为 $60\text{ m}$，要使自行车不受摩擦力作用，其速度应等于多少？
   • （2）若该运动员骑自行车以 $18\text{ m/s}$ 的速度仍沿该赛道做匀速圆周运动，自行车和运动员的质量一共是 $100\text{ kg}$，此时自行车所受摩擦力的大小又是多少？方向如何？