第七章教材习题

7.1 练习与应用

1. 地球公转轨道的半径在天文学上常用来作为长度单位，叫作天文单位，用来量度太阳系内天体与太阳的距离。（这只是个粗略的说法。在天文学中，“天文单位”有严格的定义，用符号 $\text{AU}$ 表示。）已知火星公转的轨道半径是 $1.5\text{ AU}$，根据开普勒第三定律，火星公转的周期是多少个地球日？

2. 开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动。如果一颗人造地球卫星沿椭圆轨道运动，它在离地球最近的位置（近地点）和最远的位置（远地点），哪点的速度比较大？

3. 对于 $F=m\frac{v^2}{r}$，$v=\frac{2\pi r}{T}$，$\frac{r^3}{T^2}=k$ 这三个等式来说，有的可以在实验室中验证，有的则不能，这个无法在实验室验证的规律是怎么得到的？

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7.2 练习与应用

1. 既然任何物体间都存在着引力，为什么当两个人接近时他们不会吸在一起？我们通常分析物体的受力时是否需要考虑物体间的万有引力？请你根据实际情况，应用合理的数据，通过计算说明以上两个问题。

2. 大麦哲伦云和小麦哲伦云是银河系外离地球最近的星系（很遗憾，在北半球看不见）。大麦哲伦云的质量为太阳质量的 ${10}^{10}$ 倍，即 $2.0\times {10}^{40}\text{ kg}$，小麦哲伦云的质量为太阳质量的 ${10}^9$ 倍，两者相距 $5\times {10}^4$ 光年，求它们之间的引力。^[1]

3. 太阳质量大约是月球质量的 $2.7\times {10}^7$ 倍，太阳到地球的距离大约是月球到地球距离的 $3.9\times {10}^2$ 倍，试比较太阳和月球对地球的引力。

4. 木星的卫星中有 4 颗是伽利略发现的，称为伽利略卫星，其中三颗卫星的周期之比为 $1:2:4$。小华同学打算根据万有引力的知识计算木卫二绕木星运动的周期，她收集到了如下一些数据：

   • 木卫二的数据：质量为 $4.8\times {10}^{22}\text{ kg}$、绕木星做匀速圆周运动的轨道半径为 $6.7\times {10}^8\text{ m}$。
   • 木星的数据：质量为 $1.9\times {10}^{27}\text{ kg}$、半径为 $7.1\times {10}^7\text{ m}$、自转周期为 $9.8\text{ h}$。
   • 但她不知道应该怎样做，请你帮助她完成木卫二运动周期的计算。

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7.3 练习与应用

1. 已知月球的质量是 $7.3\times {10}^{22}\text{ kg}$，半径是 $1.7\times {10}^3\text{ km}$，月球表面的自由落体加速度有多大？这对宇航员在月球表面的行走会产生什么影响？若宇航员在地面上最多能举起质量为 $m$ 的物体，他在月球表面最多能举起质量是多少的物体？

2. 根据万有引力定律和牛顿第二定律说明：为什么不同物体在地球表面的自由落体加速度都是相等的？为什么高山上的自由落体加速度比山下地面的小？

3. 某人造地球卫星沿圆轨道运行，轨道半径是 $6.8\times {10}^3\text{ km}$，周期是 $5.6\times {10}^3\text{ s}$。试从这些数据估算地球的质量。

4. 地球的公转轨道接近圆，哈雷彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆（图 7.3-4）。天文学家哈雷成功预言了哈雷彗星的回归。哈雷彗星最近出现的时间是 1986 年，预计下次飞近地球将在 2061 年左右。

   • （1）请根据开普勒行星运动定律估算哈雷彗星轨道的半长轴是地球公转半径的多少倍。
   • （2）若哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为 $r_1$，线速度大小为 $v_1$；在远日点与太阳中心的距离为 $r_2$，线速度大小为 $v_2$，请比较哪个速度大，并求得哈雷彗星在近日点和远日点的加速度大小之比。

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7.4 练习与应用

1. 有人根据公式 $v=\omega r$ 说：人造地球卫星的轨道半径增大 2 倍，卫星的速度也增大 2 倍。但由公式 $v=\sqrt{\frac{G{m}_{\text{地}}}{r}}$ 可知，轨道半径增大时，人造地球卫星的速度是减小的。应当怎样正确理解这个问题？

2. “2003年10月15日9时，我国神舟五号宇宙飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，把中国第一位航天员杨利伟送入太空。飞船绕地球飞行 14 圈后，于10月16日6时23分安全降落在内蒙古主着陆场。”根据以上消息，若不计发射与降落时间，把飞船的运动看作绕地球做匀速圆周运动，试估算神舟五号绕地球飞行时距地面的高度。已知地球质量 $m_{\text{地}}=6.0\times {10}^{24}\text{ kg}$，地球半径 $R=6.4\times {10}^3\text{ km}$。

3. 已知地球半径为 $R$，地球表面的重力加速度为 $g$，地球自转的周期为 $T$，求地球同步卫星的向心加速度大小。

4. 金星的半径是地球半径的 $95\mathrm{\%}$，质量为地球质量的 $82\mathrm{\%}$，金星表面的自由落体加速度是多大？金星的“第一宇宙速度”是多大？

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7.5 练习与应用

1. 一列火车以速度 $v$ 相对地面运动（图 7.5-4）。如果地面上的人测得，某光源发出的闪光同时到达车厢的前壁和后壁，那么按照火车上人的测量，闪光先到达前壁还是后壁？火车上的人怎样解释自己的测量结果？

2. 若在速度为 $8\text{ km/s}$ 的飞船上有一只完好的手表走过了 $1\text{ min}$，则地面上的人认为它走过这 $1\text{ min}$“实际”上花了多少时间？

3. 一枚静止时长 $30\text{ m}$ 的火箭以 $3\text{ km/s}$ 的速度从观察者的身边掠过，观察者测得火箭的长度应为多少？火箭上的人测得火箭的长度应为多少？如果火箭的速度为光速的一半呢？

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第七章 复习与提高

A组

1. 一位同学根据向心力公式 $F=m\frac{v^2}{r}$ 说，如果人造地球卫星的质量不变，当轨道半径增大到 2 倍时，人造地球卫星需要的向心力减小为原来的 $\frac{1}{2}$；另一位同学根据卫星的向心力是地球对它的引力，由公式 $F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$ 推断，当轨道半径增大到 2 倍时，人造地球卫星需要的向心力减小为原来的 $\frac{1}{4}$。哪位同学的看法对？说错了的同学错在哪里？请说明理由。

2. 发射人造地球卫星时将卫星以一定的速度送入预定轨道。发射场一般选择在尽可能靠近赤道的地方。这样选址有什么优点？

3. 你所受太阳的引力是多大？和你所受地球的引力比较一下，可得出怎样的结论？已知太阳的质量为 $2.0\times {10}^{30}\text{ kg}$，地球到太阳的距离为 $1.5\times {10}^{11}\text{ m}$，设你的质量是 $60\text{ kg}$。

4. 地球质量大约是月球质量的 81 倍，一个飞行器在地球与月球之间。当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，该飞行器距地心的距离与距月心的距离之比为多少？

5. 海王星的质量是地球的 17 倍，它的半径是地球的 4 倍。绕海王星表面做圆周运动的宇宙飞船，其运行速度有多大？

6. 在月球上的宇航员，如果他已知引力常量和月球半径，且手头有一个已知质量为 $m$ 的钩码。

   • （1）他怎样才能测出月球的质量？写出月球质量的表达式。
   • （2）他需要选用哪些实验器材？

7. 某中子星的质量大约与太阳的质量相等，为 $2\times {10}^{30}\text{ kg}$，但是它的半径只有 $10\text{ km}$。

   • （1）求此中子星表面的自由落体加速度。
   • （2）贴近中子星表面，求沿圆轨道运动的小卫星的速度。

B组

1. 如果你站在月球上，能否用一把刻度尺和一块秒表估测月球的质量？如果能，请设计实验，并说出需要测量的数据和月球质量的计算式。已知月球的半径为 $R$。

2. 行星的平均密度是 $\rho$，靠近行星表面运行的卫星运转周期是 $T$，证明：$\rho T^2$ 是一个常量，即对任何行星都相同。

3. 有一质量为 $m$、半径为 $R$、密度均匀的球体，在距离球心 $O$ 为 $2R$ 的地方有一质量为 $m^{\prime }$ 的质点。现从 $m$ 中挖去半径为 $\frac{1}{2}R$ 的球体，如图 7-1 所示，则剩余部分对 $m^{\prime }$ 的万有引力 $F$ 为多少？

4. 利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通信，目前地球同步卫星的轨道半径为地球半径的 6.6 倍。假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为多少小时？

5. 海边会发生潮汐现象，潮来时，水面升高；潮退时，水面降低。有人认为这是由于太阳对海水的引力变化以及月球对海水的引力变化所造成的。中午，太阳对海水的引力方向指向海平面上方；半夜，太阳对海水的引力方向指向海平面下方；拂晓和黄昏，太阳对海水的引力方向跟海平面平行。月球对海水的引力方向的变化也有类似情况。太阳、月球对某一区域海水引力的周期性变化，就引起了潮汐现象。 已知太阳质量为 $2.0\times {10}^{30}\text{ kg}$，太阳与地球的距离为 $1.5\times {10}^8\text{ km}$ ^[1:1]，月球质量为 $7.3\times {10}^{22}\text{ kg}$，月球与地球的距离为 $3.8\times {10}^5\text{ km}$，地球质量为 $6.0\times {10}^{24}\text{ kg}$，地球半径取 $6.4\times {10}^3\text{ km}$。请你估算一下：对同一片海水来说，太阳对海水的引力、月球对海水的引力，分别是海水重力的几分之一？

6. 太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学上称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示。 根据题中信息，试计算木星相邻两次冲日的时间间隔，哪颗地外行星相邻两次冲日的时间间隔最短？

	地球	火星	木星	土星	天王星	海王星
轨道半径 $R$/AU	1.0	1.5	5.2	9.5	19	30

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1. 编者注：原文中此处的太阳与地球距离采用的是 $1.5\times {10}^8\text{ km}$（即万有引力公式中 $r$ 的数量级），在估算计算时需注意单位换算。 ↩︎ ↩︎