投湖问题

期中考试前夕，某高中高一 13 班的 $N$ 名同学（假设每人质量均为 $m$）被动量守恒压轴题折磨得精神濒临崩溃。为了表达抗议，大家（在穿戴好救生衣的情况下）坐上一艘质量为 $M$ 的小船，来到了无风无浪、且完全没有任何水阻力和空气阻力的“理想静水湖”中央。

这群生无可恋的同学，想在投湖前，以让船最快的速度冲向岸边的物理老师（因为听说物理题就是他出的）！

问题一： 假设每位同学弹跳能力极佳，能精准控制落地速度。若每个人跳水后，落水瞬间相对于水面（地面）的速度大小均为 $v$。请问是 $N$ 个人同时一起跳，还是依次一个个跳，能使小船最终获得的速度更大？

问题二： 假设每个人在起跳时，以自己起跳前瞬间小船的速度为参考系，其向后起跳的相对速度大小均为 $v_0$。请问是同时一起跳，还是依次一个个跳，能使小船最终获得的速度更大？

问题三： 假设每个人在跳离小船的瞬间，以跳离后瞬间小船的速度为参考系，其向后分离的相对速度大小均为 $u$。请问是同时一起跳，还是依次一个个跳，能使小船最终获得的速度更大？

问题四： 在真实的物理情境中（用力蹬船跳跃），以上三种假设哪一种最符合真实的人体发力规律？并请结合做功或能量转化简述你的理由。

---

详情

【参考答案与解析】

问题一解析：对地速度恒定

【答案】 小船最终获得的速度一样大。 【解析】 本题考察系统总动量守恒。取小船前进方向为正方向。 对于“小船+所有队员”组成的系统，无论采用何种跳法，系统的初始总动量为 $0$。 无论是一起跳还是依次跳，所有队员最终“带走”的对地动量总和均为 $P_{\mathrm{人}}=N\cdot m(-v)=-Nmv$。 设小船最终速度为 $V_1$，根据系统动量守恒定律： $0=M{V}_1-Nmv$ 解得：$V_1=\frac{Nmv}{M}$【物理图像】 只要你们带走的对地动量是一样多的，留给小船的反冲动量就必然是一样多的，与中间过程（参考系、跳跃顺序）毫无关系。

问题二解析：起跳前相对速度恒定

【答案】 同时一起跳能使小船获得的速度更大。 【解析】

1. 若同时一起跳： 所有人起跳前船速为 $0$，因此所有人对地速度即为 $-v_0$。 由动量守恒得：$0=M{V}_{\mathrm{一}\mathrm{起}}-Nm{v}_0$，解得 $V_{\mathrm{一}\mathrm{起}}=\frac{Nm{v}_0}{M}$。
2. 若依次一个个跳： 设第 $i$ 个人跳水前，船及剩下的人速度为 $V_{i-1}$。该队员起跳时的对地速度为 $v_{\mathrm{对}\mathrm{地}}=V_{i-1}-v_0$。 取系统（船+还没跳的人）为研究对象，根据动量守恒，该次跳跃给船带来的速度增量 $\mathrm{\Delta }{V}_i$ 满足： $(M+(N-i+1)m)V_{i-1}=m(V_{i-1}-v_0)+(M+(N-i)m)V_i$ 化简得到：$\mathrm{\Delta }{V}_i=\frac{m{v}_0}{M+(N-i)m}$ 将 $N$ 次速度增量累加，得到最终船速： $V_{\mathrm{依}\mathrm{次}}=m{v}_0(\frac{1}{M+(N-1)m}+\frac{1}{M+(N-2)m}+...+\frac{1}{M})$
3. 比较： 把 $V_{\mathrm{一}\mathrm{起}}$ 拆开写，相当于 $m{v}_0(\frac{1}{M}+\frac{1}{M}+...+\frac{1}{M})$。 因为 （即依次跳时，前面的项分母更大），所以 。 【物理图像】 如果依次跳，后面跳的人不仅要推船，还“顺带”把仍在船上的队友给加速了，浪费了反冲的动量；而且因为船已经有向前的速度了，后跳的人对地向后的速度变小了（带走的动量少了）。所以不如大家趁着船还没动，一起发力把动量全给船。

问题三解析：分离后相对速度恒定（经典人船模型）

【答案】 依次一个个跳能使小船获得的速度更大。 【解析】

1. 若同时一起跳： 所有人跳完后船速为 $V_{\mathrm{一}\mathrm{起}}$，所有人对地速度为 $V_{\mathrm{一}\mathrm{起}}-u$。 由动量守恒：$0=M{V}_{\mathrm{一}\mathrm{起}}+Nm(V_{\mathrm{一}\mathrm{起}}-u)$ 解得：$V_{\mathrm{一}\mathrm{起}}=\frac{Nmu}{M+Nm}$
2. 若依次一个个跳： 设第 $i$ 个人起跳前，参与该次作用的总质量为 $M_{\mathrm{总}i}=M+(N-i+1)m$。 分离后系统剩余质量为 $M_{\mathrm{余}i}=M+(N-i)m$。 列动量守恒：$0=m(-u+\mathrm{\Delta }{V}_i)+M_{\mathrm{余}i}\mathrm{\Delta }{V}_i$ 化简得到每一次的速度增量：$\mathrm{\Delta }{V}_i=\frac{mu}{M+(N-i+1)m}$ 累加得到最终船速： $V_{\mathrm{依}\mathrm{次}}=mu(\frac{1}{M+Nm}+\frac{1}{M+(N-1)m}+...+\frac{1}{M+m})$
3. 比较： 把 $V_{\mathrm{一}\mathrm{起}}$ 拆开写，相当于 $mu(\frac{1}{M+Nm}+\frac{1}{M+Nm}+...+\frac{1}{M+Nm})$。 显然，依次跳时，除第一项外，后续每一项的分母都小于 $M+Nm$，所以 $\mathrm{\Delta }{V}_i$ 越来越大，。 【物理图像】 这就是著名的“多级火箭原理”！依次跳跃时，先跳进水里的人，不仅给船提供了初速度，还把自己的质量“剥离”了。后跳的人在发力时，不需要再拖着之前那些人的质量（死负载）加速，推越来越轻的系统，速度增量自然越来越大。

问题四解析：实际物理建模的合理性

【答案】 问题三中的假设（分离后相对速度恒定）最符合实际规律。 【解析与理由】 在真实情境中，人蹬船跳跃的过程，本质是人体肌肉将化学能转化为机械能的过程。

1. 对地速度（假设一）不可控： 人在运动的船上跳跃时，人的神经和肌肉无法感知“对地速度”是多少，只受限于自身的发力能力，因此假设一不符合生物发力规律。
2. 起跳前相对速度（假设二）不严谨： 人的跳跃不是一瞬间的碰撞，而是一个双腿伸展、持续做功的加速过程。在脚离开甲板前，船是在持续加速的，用起跳前一瞬间的状态作为参考系，忽略了加速过程中的相互作用做功。
3. 分离后相对速度（假设三）符合能量守恒： 我们可以把人的双腿等效为一根被压缩的弹簧。对于固定的队员，其腿部伸展能做的总功（即释放的最大弹性势能 $E$）大致是一个定值。 根据能量转化，这部分能量主要转化为了人和船在分离瞬间的“相对动能”：$E\approx \frac{1}{2}\mu u_{\mathrm{相}\mathrm{对}}^2$ （其中 $\mu =\frac{m{M}_{\mathrm{余}}}{m+M_{\mathrm{余}}}$ 为系统的折合质量）。 因为人的质量 $m$ 通常远小于船的质量，折合质量 $\mu \approx m$，这意味着释放的能量主要决定了分离瞬间的相对速度 $u$。因此，在同样的用力程度下，每次分离时的相对速度 $u$ 趋近于一个恒定值。这也就是为什么在高考和竞赛中，火箭喷气、人船模型均默认“分离速度恒定”的根本原因。