光滑滑块斜坡问题

题目

一个质量为 $M$、倾角为 $\theta$ 的斜面静置于水平面上。一个质量为 $m$ 的小物块从斜面上由静止开始释放。

假设所有接触面（包括水平面与斜面之间、小物块与斜面之间）均光滑，在小物块滑离斜面前，斜面和小物块的加速度是多少？

解答

变量设置、参考系与坐标系选取

1. 参考系：选取地面为惯性参考系，假设斜面为左上至右下。
2. 坐标系：建立直角坐标系，水平向右为 x 轴正方向，竖直向上为 y 轴正方向。
3. 变量定义：
   • 设斜面 $M$ 相对于地面的加速度为 $\overrightarrow{A}$。由于斜面只受水平方向的净外力，其运动方向必在水平方向上。根据受力分析可知，斜面将向左加速，故设其加速度大小为 $A$，方向沿 x 轴负方向，即 $\overrightarrow{A}=(-A,0)$。
   • 设小物块 $m$ 相对于地面的加速度为 $\overrightarrow{a}=(a_x,a_y)$。根据物理情景，小物块将向右下方加速，因此 $a_x>0$，$a_y<0$。

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受力分析与运动方程

分别对小物块 $m$ 和斜面 $M$ 进行受力分析，并根据牛顿第二定律建立方程。

• 对斜面 $M$ 的分析：

斜面在水平方向上受到小物块对其的压力 $N^{\prime }$ 的一个分力。根据牛顿第三定律，$N^{\prime }$ 与小物块受到的支持力 $N$ 大小相等、方向相反。

• x 轴方向：压力 $N^{\prime }$ 的水平分力 $N^{\prime }\sin \theta$ (方向向左) 是使斜面加速的净外力。

  $$N\sin \theta =MA\cdots (1)$$

• y 轴方向：竖直方向受力平衡（重力 $Mg$、地面的支持力 $N_{\mathrm{地}\mathrm{面}}$、小物块的压力 $N^{\prime }$ 的竖直分力），此方向的方程对求解加速度无直接帮助。

• 对小物块 $m$ 的分析： 小物块受到自身重力 $mg$ 和来自斜面的支持力 $N$。

  • x 轴方向：支持力 $N$ 的水平分力是小物块在水平方向的净外力。$$N\sin \theta =m{a}_x\cdots (2)$$
  • y 轴方向：小物块在竖直方向的合力为其重力和支持力 $N$ 的竖直分力。$$mg-N\cos \theta =m(-a_y)=-m{a}_y$$其中，我们设 $a_y$ 为 y 方向的加速度分量，其值为负。为方便计算，可以定义加速度的数值大小为 $a_{y\mathrm{\_}mag}=-a_y>0$，则方程为：$$mg-N\cos \theta =m{a}_{y\mathrm{\_}mag}\cdots (3)$$

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约束关系

小物块始终在斜面上滑动，未脱离斜面。这意味着小物块相对于斜面的加速度必须沿着斜面向下。小物块相对于斜面的加速度 ${\overrightarrow{a}}_{rel}$ 为：

$${\overrightarrow{a}}_{rel}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{A}=(a_x-(-A),a_y-0)=(a_x+A,a_y)$$

此相对加速度矢量的方向与斜面平行，因此其分量的斜率应等于斜面的斜率的负值：

$$\frac{a_y}{a_x+A}=-\tan \theta$$

使用加速度大小 $a_{y\mathrm{\_}mag}$ 代替 $a_y=-a_{y\mathrm{\_}mag}$，我们得到：

$$\frac{-a_{y\mathrm{\_}mag}}{a_x+A}=-\tan \theta ⟹a_{y\mathrm{\_}mag}=(a_x+A)\tan \theta \cdots (4)$$

至此，我们得到了四个独立的方程 (1), (2), (3), (4)，其中包含四个未知数 $A,a_x,a_{y\mathrm{\_}mag},N$。

求解过程

1. 联立 (1) 和 (2)：

   $$MA=m{a}_x⟹A=\frac{m}{M}{a}_x$$

2. 将 $A$ 代入 (4)：

   $$a_{y\mathrm{\_}mag}=(a_x+\frac{m}{M}{a}_x)\tan \theta =a_x\left(\frac{M+m}{M}\right)\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$$

3. 由 (2) 得到 $N$：

   $$N=\frac{m{a}_x}{\sin \theta }$$

4. 将 $N$ 和 $a_{y\mathrm{\_}mag}$ 的表达式代入 (3)：

   $$mg-\left(\frac{m{a}_x}{\sin \theta }\right)\cos \theta =m\left[a_x\left(\frac{M+m}{M}\right)\frac{\sin \theta }{\cos \theta }\right]$$

5. 化简并求解 $a_x$： 两边消去 $m$：

   $$g-a_x\frac{\cos \theta }{\sin \theta }=a_x\left(\frac{M+m}{M}\right)\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$$$$g=a_x[\frac{\cos \theta }{\sin \theta }+\left(\frac{M+m}{M}\right)\frac{\sin \theta }{\cos \theta }]$$$$g=a_x\left[\frac{M{\cos }^2\theta +(M+m){\sin }^2\theta }{M\sin \theta \cos \theta }\right]$$$$g=a_x\left[\frac{M({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )+m{\sin }^2\theta }{M\sin \theta \cos \theta }\right]$$$$g=a_x\left[\frac{M+m{\sin }^2\theta }{M\sin \theta \cos \theta }\right]$$

   最终解得 $a_x$：

   $$a_x=\frac{Mg\sin \theta \cos \theta }{M+m{\sin }^2\theta }$$

6. 求解其他加速度分量：

   • 斜面加速度 $A$：$$A=\frac{m}{M}{a}_x=\frac{mg\sin \theta \cos \theta }{M+m{\sin }^2\theta }$$
   • 小物块竖直加速度大小 $a_{y\mathrm{\_}mag}$：$$a_{y\mathrm{\_}mag}=a_x\left(\frac{M+m}{M}\right)\tan \theta =\frac{Mg\sin \theta \cos \theta }{M+m{\sin }^2\theta }\cdot \frac{M+m}{M}\cdot \frac{\sin \theta }{\cos \theta }$$$$a_{y\mathrm{\_}mag}=\frac{(M+m)g{\sin }^2\theta }{M+m{\sin }^2\theta }$$
   • 小物块 m 的加速度大小： 加速度大小 $a=|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$。$$a^2={\left(\frac{Mg\sin \theta \cos \theta }{M+m{\sin }^2\theta }\right)}^2+{\left(\frac{(M+m)g{\sin }^2\theta }{M+m{\sin }^2\theta }\right)}^2$$$$a^2=\frac{g^2{\sin }^2\theta }{(M+m{\sin }^2\theta {)}^2}[(M\cos \theta {)}^2+((M+m)\sin \theta {)}^2]$$$$a^2=\frac{g^2{\sin }^2\theta }{(M+m{\sin }^2\theta {)}^2}[M^2{\cos }^2\theta +(M^2+2Mm+m^2){\sin }^2\theta ]$$$$a^2=\frac{g^2{\sin }^2\theta }{(M+m{\sin }^2\theta {)}^2}[M^2({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )+(2Mm+m^2){\sin }^2\theta ]$$$$a^2=\frac{g^2{\sin }^2\theta (M^2+2Mm{\sin }^2\theta +m^2{\sin }^2\theta )}{(M+m{\sin }^2\theta {)}^2}$$$$a=\frac{g\sin \theta \sqrt{M^2+(2Mm+m^2){\sin }^2\theta }}{M+m{\sin }^2\theta }$$

最终结果

• 斜面 M 的加速度： 大小为 $A=\frac{mg\sin \theta \cos \theta }{M+m{\sin }^2\theta }$，方向水平向左。

• 小物块 m 的加速度：

  • 水平分量 $a_x=\frac{Mg\sin \theta \cos \theta }{M+m{\sin }^2\theta }$，方向水平向右。
  • 竖直分量 $a_y=-\frac{(M+m)g{\sin }^2\theta }{M+m{\sin }^2\theta }$，方向竖直向下。
  • 总大小：$a=\frac{g\sin \theta \sqrt{M^2+(2Mm+m^2){\sin }^2\theta }}{M+m{\sin }^2\theta }$

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讨论与验证

我们可以通过考虑一个极限情况来验证结果的合理性。

假设斜面的质量远大于小物块的质量，即 $M\to \mathrm{\infty }$。此时，我们可以忽略分母中的 $m{\sin }^2\theta$ 项。

• 斜面加速度 $A$：

  $$\underset{M\to \mathrm{\infty }}{lim}A=\underset{M\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{mg\sin \theta \cos \theta }{M}=0$$

  这符合预期，因为一个非常重的斜面几乎不会被小物块推动。

• 小物块加速度大小 $a$：

  我们将 $a$ 的表达式上下同除以 $M$：

  $$a=\frac{g\sin \theta \sqrt{1+(2m/M+m^2/M^2){\sin }^2\theta }}{1+(m/M){\sin }^2\theta }$$

  当 $M\to \mathrm{\infty }$ 时，$m/M\to 0$ 且 $m^2/M^2\to 0$。

  $$\underset{M\to \mathrm{\infty }}{lim}a=\frac{g\sin \theta \sqrt{1+0}}{1+0}=g\sin \theta$$

  结果与固定光滑斜面情况下，物块沿斜面下滑的加速度大小完全一致。因此，该解是正确的。