弹簧分离问题

题目

一根劲度系数为 $k$ 的轻质弹簧直立在水平地面上，下端固定。在弹簧上端连接一个质量为 $m_B$ 的物块 B。在物块 B 正上方叠放一个质量为 $m_A$ 的物块 A。系现用力向下压物块 A，使弹簧压缩量变为 $x_0$。随后由静止释放，A、B 向上弹起并在运动过程中分离。

规定弹簧原长处为坐标原点并选取向上为正方向。规定坐标原点为重力势能零点。已知重力加速度为 $g$，不计空气阻力。

1. A、B 两物块在何处分离？
2. 为保证 A、B 在运动过程中发生分离，下压距离 $x_0$ 应满足什么条件？
3. 分别求出物块 A 的动能最大值、重力势能最大值、机械能最大值及其对应的位置 $y$ 与数值。
4. 分别求出物块 B 的动能最大值、重力势能最大值、机械能最大值及其对应的位置 $y$ 与数值。

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1. $y=0$
2. $x_0\ge \frac{2(m_a+m_b)g}{k}$

【解析】

分离位置

分离瞬间 A、B 间正压力 $N=0$，且两者加速度相同。

• 对 A 分析：$-m_{A}g=m_{A}a⟹a=-g$。
• 对 B 分析：$F_{\text{弹}}-m_{B}g=m_{B}a$

由于 $a=-g$，代入 B 的方程得：$F_{\text{弹}}=0$.

由 弹力公式 $F_{\text{弹}}=ky$ 可知，分离位置 $y_{\text{分}}$ 满足 $k{y}_{\text{分}}=0$。

结论：分离位置在弹簧原长处，即 $y_{\mathrm{分}}=0$。

分离条件

A、B 发生分离的临界点是弹簧回到原长（$y=0$）。若要在此处分离，系统到达原长时的速度 $v$ 必须大于或等于零。

设 $M=m_A+m_B$。

根据胡克定律，弹簧的弹力 $F$ 与形变量 $x$ 成正比，即 $F=kx$。在弹簧从压缩 $x_0$ 恢复到原长的过程中，弹力 $F$ 随位移线性减小：

• 初始位置（压缩 $x_0$）：弹力 $F_1=k{x}_0$
• 末位置（原长）：弹力 $F_2=0$

由于弹力随位移均匀变化，我们可以用平均力 $\overline{F}$ 来计算弹力做的功：

$$\overline{F}=\frac{F_1+F_2}{2}=\frac{k{x}_0+0}{2}=\frac{1}{2}k{x}_0$$

弹力方向向上，位移方向向上，大小均为 $x_0$，则弹力做的功为： $W_F=\overline{F}\cdot x_0=(\frac{1}{2}k{x}_0)\cdot x_0=\frac{1}{2}k{x}_0^2$

根据功与能的关系，弹力做的功等于弹性势能的减少量（$W_F=E_{p1}-E_{p2}$）。若规定原长处势能为 0，则弹簧压缩 $x$ 时的弹性势能为： $E_p=\frac{1}{2}k{x}^2$

根据系统机械能守恒（从释放点 $-x_0$ 到原长 $0$）：

$E_{\mathrm{初}}=E_{\mathrm{末}}$ (由 $E_{p,\mathrm{弹}}+E_{p,\mathrm{重}\mathrm{力}}+E_k$ 组成)

$$\frac{1}{2}k{x}_0^2+Mg(-x_0)=\frac{1}{2}M{v}^2+0$$

或者根据动能定理 $W_{\text{合}}=\mathrm{\Delta }{E}_k$：

$$W_{F_{\text{弹}}}+W_G=\frac{1}{2}M{v}_{\text{分}}^2-0$$$$\frac{1}{2}k{x}_0^2-Mg{x}_0=\frac{1}{2}M{v}_{\text{分}}^2$$

若要分离，系统必须能到达原长位置，即到达原长时的速度 $v_{\text{分}}\ge 0$。 由此得：$\frac{1}{2}k{x}_0^2\ge Mg{x}_0$

解得：$x_0\ge \frac{2(m_A+m_B)g}{k}$。

物块 A 的极值计算

分离点处速度平方为：$v_{\text{分}}^2=\frac{k{x}_0^2-2Mg{x}_0}{M}$。

• 最大动能 $E_{kA,max}$：

  出现在合力为零处，即系统平衡位置 $y=-\frac{Mg}{k}$。此时系统总动能为 $E_k=\frac{1}{2}k{x}_0^2-Mg{x}_0+\frac{M^2{g}^2}{2k}$。

  位置：$y=-\frac{Mg}{k}$

  数值：$E_{kA,max}=\frac{m_A}{M}(\frac{1}{2}k{x}_0^2-Mg{x}_0+\frac{M^2{g}^2}{2k})$

• 最大重力势能 $E_{pA,max}$：

  出现在 A 竖直上抛的最高点。

  $y_{HA}=\frac{v_{\text{分}}^2}{2g}=\frac{k{x}_0^2-2Mg{x}_0}{2Mg}$。

  位置：$y=\frac{k{x}_0^2}{2Mg}-x_0$

  数值：$E_{pA,max}=\frac{m_A(k{x}_0^2-2Mg{x}_0)}{2M}$

• 最大机械能 $E_{A,max}$：

  对 A 而言，除了重力外，只有 B 对 A 的支持力 $N$ 做功。

  在分离前（）， 且方向向上，位移向上，故 $N$ 做正功，A 的机械能持续增加。

  在分离后（$y\ge 0$），$N=0$，A 仅受重力，机械能守恒。

  位置：$y\in [0,\frac{k{x}_0^2}{2Mg}-x_0]$（即从分离点到最高点的整个过程）

  数值：$E_{A,max}=\frac{m_A}{2M}(k{x}_0^2-2Mg{x}_0)$

物块 B 的极值计算

• 最大动能 $E_{kB,max}$：

  出现在合力为零处，即系统平衡位置 $y=-\frac{Mg}{k}$。此时系统总动能为 $E_k=\frac{1}{2}k{x}_0^2-Mg{x}_0+\frac{M^2{g}^2}{2k}$。

  位置：$y=-\frac{Mg}{k}$

  数值：$E_{kB,max}=\frac{m_B}{M}(\frac{1}{2}k{x}_0^2-Mg{x}_0+\frac{M^2{g}^2}{2k})$

• 最大重力势能 $E_{pB,max}$：

  出现在 B 向上运动的最高点。分离后 B 仅受重力和弹簧弹力，机械能守恒。

  设最高点为 $y_{HB}$，则 $\frac{1}{2}{m}_B{v}_{\text{分}}^2=\frac{1}{2}k{y}_{HB}^2+m_{B}g{y}_{HB}$。

  位置：$y=\frac{-m_{B}g+\sqrt{m_B^2{g}^2+k{m}_B{v}_{\text{分}}^2}}{k}$

  数值：$E_{pB,max}=m_{B}g\cdot y_{HB}$

• 最大机械能 $E_{B,max}$：

  根据功能原理，B 的机械能增量等于弹簧弹力做的功减去 A 对 B 压力做的功。

  由于分离前 A、B 一起运动，在分离前（），B 的机械能随位置 $y$ 的表达式为：

  $$E_B(y)=E_{kB}+m_{B}gy=\frac{m_B}{M}{E}_k+m_{B}gy$$

  将 $E_k=E-\frac{1}{2}k{y}^2-Mgy$ 代入：

  在 范围内，当 $y$ 越接近 $0$，$E_B$ 越大。

  当 时，A 已离开。B 只受重力和弹簧拉力。弹簧拉力向下，位移向上，弹簧对 B 做负功，B 的机械能减小。

  位置：$y=0$

  数值：$E_{B,max}=\frac{m_B}{2M}(k{x}_0^2-2Mg{x}_0)$