斜抛最远距离问题

Mr.Hope2025/11/26...大约 5 分钟

题目一：高台抛射的最远水平距离

一小球从距水平地面高度为 $h$ 的平台边缘以大小为 $v_{0}$ 的初速度抛出。若忽略空气阻力，重力加速度为 $g$ ，试求：

为使小球落地点与抛出点的水平距离 $x$ 最大，小球抛出时速度方向与水平面的夹角 $θ$ 应满足什么条件？
该最大的水平距离 $x_{max}$ 是多少？

答案

出手角度满足 $\tan θ = \frac{v_{0}}{\sqrt{v_{0}^{2} + 2 g h}}$ 。
最远水平距离 $x_{max} = \frac{v_{0}}{g} \sqrt{v_{0}^{2} + 2 g h}$ 。

思路：

建立直角坐标系，原点 $O$ 为抛出点，水平向右为 $x$ 轴，竖直向上为 $y$ 轴。

小球的运动轨迹方程为（消去时间 $t$ ）：

y = x \tan θ - \frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2} \cos^{2} θ}

利用三角恒等式 $\frac{1}{\cos^{2} θ} = 1 + \tan^{2} θ$ ，轨迹方程变为关于 $\tan θ$ 的方程：

y = x \tan θ - \frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2}} (1 + \tan^{2} θ)

小球落在地面上，即 $y = - h$ 。代入并整理，得到一个关于 $\tan θ$ 的一元二次方程：

\frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2}} \tan^{2} θ - x \tan θ + (\frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2}} - h) = 0

若要存在这样的抛射角 $θ$ 使小球能到达距离 $x$ 处，则该关于 $\tan θ$ 的方程必须有实数解，即判别式 $Δ \geq 0$ ：

Δ = (- x)^{2} - 4 \cdot \frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2}} \cdot (\frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2}} - h) \geq 0

化简不等式（约去 $x^{2}$ ，因为 $x > 0$ ）：

1 - \frac{2 g}{v_{0}^{2}} (\frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2}} - h) \geq 0

解得：

x^{2} \leq \frac{v_{0}^{2}}{g^{2}} (v_{0}^{2} + 2 g h)

x_{max} = \frac{v_{0}}{g} \sqrt{v_{0}^{2} + 2 g h}

此时 $Δ = 0$ ，方程有唯一解：

\tan θ = \frac{- b}{2 a} = \frac{x}{2 \cdot \frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2}}} = \frac{v_{0}^{2}}{g x_{max}}

代入 $x_{max}$ 可得：

\tan θ = \frac{v_{0}}{\sqrt{v_{0}^{2} + 2 g h}}

题目二：定高越障的最远后撤距离

在水平地面上投掷一物体，初速度大小恒为 $v_{0}$ 。前方有一高度为 $h$ 的竖直墙壁（ $h < \frac{v_{0}^{2}}{2 g}$ ）。为了使物体能够越过该墙壁，投掷点距离墙壁的水平距离 $x$ 最大不能超过多少？此时投掷角 $θ$ 为多少？

答案

最远后撤距离 $x_{max} = \frac{v_{0}}{g} \sqrt{v_{0}^{2} - 2 g h}$ 。
出手角度满足 $\tan θ = \frac{v_{0}}{\sqrt{v_{0}^{2} - 2 g h}}$ 。

思路：

此题即求解：当轨迹经过点 $(x, h)$ 时， $x$ 的最大值。

沿用题目一中的轨迹方程，此时令 $y = + h$ （注意正负号变化）：

h = x \tan θ - \frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2}} (1 + \tan^{2} θ)

整理为关于 $\tan θ$ 的一元二次方程：

\frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2}} \tan^{2} θ - x \tan θ + (\frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2}} + h) = 0

同理，利用判别式 $Δ \geq 0$ ：

x^{2} - 4 \cdot \frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2}} \cdot (\frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2}} + h) \geq 0

化简得：

1 - \frac{2 g}{v_{0}^{2}} (\frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2}} + h) \geq 0

解得：

x^{2} \leq \frac{v_{0}^{2}}{g^{2}} (v_{0}^{2} - 2 g h)

即最远距离：

x_{max} = \frac{v_{0}}{g} \sqrt{v_{0}^{2} - 2 g h}

对应的角度同样由 $Δ = 0$ 时的根确定：

\tan θ = \frac{v_{0}^{2}}{g x_{max}} = \frac{v_{0}}{\sqrt{v_{0}^{2} - 2 g h}}

题目三：斜面顶端抛射的最远射程

倾角为 $θ$ 的斜面，一物体从斜面顶端以大小为 $v_{0}$ 的初速度抛出。求该物体在斜面上落点与抛出点的最大距离 $L$ 以及此时初速度与水平方向的夹角 $α$ 。（注：题目中斜面倾角为已知量 $θ$ ，抛射角为待求量 $α$ ）。

答案

答案：

最远距离 $L_{max} = \frac{v_{0}^{2}}{g (1 - \sin θ)}$ 。
出手角度（相对于水平面） $α = \frac{π}{4} - \frac{θ}{2}$ 。 （即：抛射方向平分“竖直向上”与“斜面方向”的夹角）

思路：

设抛出点为原点，水平向右为 $x$ 轴。

落点在斜面上，坐标满足 $y = - x \tan θ$ （注意 $y$ 向下为负）。

水平位移 $x = v_{0} \cos α \cdot t$ ，竖直位移 $y = v_{0} \sin α \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2}$ 。

由 $y / x = - \tan θ$ ，代入得：

\frac{v_{0} \sin α \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2}}{v_{0} \cos α \cdot t} = - \tan θ

解得飞行时间

t = \frac{2 v_{0} (\sin α + \cos α \tan θ)}{g} = \frac{2 v_{0} \sin (α + θ)}{g \cos θ}

斜面射程

L = \frac{x}{\cos θ} = \frac{v_{0} \cos α \cdot t}{\cos θ}

代入 $t$ 并整理：

L = \frac{2 v_{0}^{2} \sin (α + θ) \cos α}{g \cos^{2} θ}

利用积化和差公式 $2 \sin A \cos B = \sin (A + B) + \sin (A - B)$ ：

L = \frac{v_{0}^{2}}{g \cos^{2} θ} [\sin (2 α + θ) + \sin θ]

显然，当 $\sin (2 α + θ) = 1$ 时， $L$ 取最大值。

即 $2 α + θ = 90^{\circ} \Rightarrow α = 45^{\circ} - \frac{θ}{2}$ 。

最大射程为：

L_{max} = \frac{v_{0}^{2}}{g \cos^{2} θ} (1 + \sin θ) = \frac{v_{0}^{2}}{g (1 - \sin^{2} θ)} (1 + \sin θ) = \frac{v_{0}^{2}}{g (1 - \sin θ)}

题目四：斜面底端抛射的最远射程

倾角为 $θ$ 的斜面，一物体从斜面底端以大小为 $v_{0}$ 的初速度向斜面上方抛出。求该物体在斜面上落点与抛出点的最大距离 $L$ 以及此时初速度与水平方向的夹角 $α$ 。

答案

最远距离 $L_{max} = \frac{v_{0}^{2}}{g (1 + \sin θ)}$ 。
出手角度（相对于水平面） $α = \frac{π}{4} + \frac{θ}{2}$ 。

思路：

与题目三类似，只是落点坐标满足 $y = x \tan θ$ （落点在 $x$ 轴上方）。由 $y / x = \tan θ$ 解得时间：

t = \frac{2 v_{0} \sin (α - θ)}{g \cos θ}

射程

L = \frac{v_{0} \cos α \cdot t}{\cos θ}

代入得：

L = \frac{2 v_{0}^{2} \sin (α - θ) \cos α}{g \cos^{2} θ}

利用积化和差公式：

L = \frac{v_{0}^{2}}{g \cos^{2} θ} [\sin (2 α - θ) - \sin θ]

当 $\sin (2 α - θ) = 1$ 时， $L$ 取最大值。

即 $2 α - θ = 90^{\circ} \Rightarrow α = 45^{\circ} + \frac{θ}{2}$ 。

最大射程为：

L_{max} = \frac{v_{0}^{2}}{g \cos^{2} θ} (1 - \sin θ) = \frac{v_{0}^{2}}{g (1 + \sin θ)}