递归函数

在函数内部，可以调用其他函数。如果一个函数在内部调用自身本身，这个函数就是递归函数。

举个例子，我们来计算阶乘 $n!=1\times 2\times 3\times \cdots \times n$ ，用函数 fact(n) 表示，可以看出:

$$\begin{gathered} fact(n)=n!=1\times 2\times 3\times \cdots \times (n-1)\times n \\ =(n-1)!\times n=fact(n-1)\times n \end{gathered}$$

所以，fact(n) 可以表示为 $n\times fact(n-1)$，只有 n=1 时需要特殊处理。

于是，fact(n) 用递归的方式写出来就是:

def fact(n):
    if n==1:
        return 1
    return n * fact(n - 1)

上面就是一个递归函数。可以试试:

>>> fact(1)
1
>>> fact(5)
120
>>> fact(100)
93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000

如果我们计算 fact(5)，可以根据函数定义看到计算过程如下:

===> fact(5)
===> 5 *fact(4)
===> 5* (4 *fact(3))
===> 5* (4 *(3* fact(2)))
===> 5 *(4* (3 *(2* fact(1))))
===> 5 *(4* (3 *(2* 1)))
===> 5 *(4* (3 *2))
===> 5* (4 *6)
===> 5* 24
===> 120

递归函数的优点是定义简单，逻辑清晰。理论上，所有的递归函数都可以写成循环的方式，但循环的逻辑不如递归清晰。

使用递归函数需要注意防止栈溢出。在计算机中，函数调用是通过栈(stack)这种数据结构实现的，每当进入一个函数调用，栈就会加一层栈帧，每当函数返回，栈就会减一层栈帧。由于栈的大小不是无限的，所以，递归调用的次数过多，会导致栈溢出。可以试试 fact(1000):

>>> fact(1000)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "<stdin>", line 4, in fact
  ...
  File "<stdin>", line 4, in fact
RuntimeError: maximum recursion depth exceeded in comparison

解决递归调用栈溢出的方法是通过尾递归优化，事实上尾递归和循环的效果是一样的，所以，把循环看成是一种特殊的尾递归函数也是可以的。

尾递归是指，在函数返回的时候，调用自身本身，并且，return 语句不能包含表达式。这样，编译器或者解释器就可以把尾递归做优化，使递归本身无论调用多少次，都只占用一个栈帧，不会出现栈溢出的情况。

上面的 fact(n) 函数由于 return n * fact(n - 1) 引入了乘法表达式，所以就不是尾递归了。要改成尾递归方式，需要多一点代码，主要是要把每一步的乘积传入到递归函数中:

def fact(n):
    return fact_iter(n, 1)

def fact_iter(num, product):
    if num == 1:
        return product
    return fact_iter(num - 1, num *product)

可以看到，return fact_iter(num - 1, num* product) 仅返回递归函数本身，num - 1 和 num * product 在函数调用前就会被计算，不影响函数调用。

fact(5) 对应的 fact_iter(5, 1) 的调用如下:

===> fact_iter(5, 1)
===> fact_iter(4, 5)
===> fact_iter(3, 20)
===> fact_iter(2, 60)
===> fact_iter(1, 120)
===> 120

尾递归调用时，如果做了优化，栈不会增长，因此，无论多少次调用也不会导致栈溢出。

遗憾的是，大多数编程语言没有针对尾递归做优化，Python 解释器也没有做优化，所以，即使把上面的 fact(n) 函数改成尾递归方式，也会导致栈溢出。

小结

使用递归函数的优点是逻辑简单清晰，缺点是过深的调用会导致栈溢出。

针对尾递归优化的语言可以通过尾递归防止栈溢出。尾递归事实上和循环是等价的，没有循环语句的编程语言只能通过尾递归实现循环。

Python 标准的解释器没有针对尾递归做优化，任何递归函数都存在栈溢出的问题。